Uma camada de material refratário ( \mathrm{k}=1,8 \mathrm{~W} / . \mathrm{m} .{ }^{\circ} \mathrm{C} ) de 50 mm de espessura está localizada entre duas chapas de aço ( k=50,0 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) de 6,3 \mathrm{~mm} de espessura. As faces da camada refratária adjacentes às placas são rugosas de modo que apenas 30 \% da área total está em contato com o aço. Os espaços vazios são ocupados por ar ( \mathrm{k}=0,015 \mathrm{~W} / \mathrm{m} .^{\circ} \mathrm{C} ) e a espessura média da rugosidade de 0,8 \mathrm{~mm}. Considerando que as temperaturas das superfícies externas da placa de aço são 490^{\circ} \mathrm{C} e 82^{\circ} \mathrm{C}, respectivamente. Calcule a taxa de transferência de calor, em W, que se estabelece na parede composta. OBS : Na rugosidade, o ar está parado (considerar apenas a condução)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado fornece e o que precisa ser calculado. (Como não foi fornecida a área da parede, vou calcular a taxa de calor por unidade de área, isto é, para A=1\\ \mathrm{m^2}.)
Dados extraídos do enunciado:
  • Condutividade térmica do refratário: k_{\text{r}}=1{,}8\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
  • Espessura do refratário: L_{\text{r}}=50\\ \mathrm{mm}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Condutividade térmica do aço: k_{\text{s}}=50{,}0\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
  • Espessura de cada chapa de aço: L_{\text{s}}=6{,}3\\ \mathrm{mm}=0{,}0063\\ \mathrm{m}.
  • As faces do refratário são rugosas: fração de área em contato com o aço \varphi=30\%=0{,}30.
  • Os espaços vazios são preenchidos por ar com k_{\text{ar}}=0{,}015\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.
  • Espessura média da rugosidade (camada de preenchimento entre aço e refratário): \delta_{\text{rug}}=0{,}8\\ \mathrm{mm}=0{,}0008\\ \mathrm{m}.
  • Temperaturas das superfícies externas das chapas de aço:
    • Lado quente: T_{\text{hot}}=490^\circ\mathrm{C}.
    • Lado frio: T_{\text{cold}}=82^\circ\mathrm{C}.
O que se pede:
  • Calcular a taxa de transferência de calor que se estabelece na parede composta (vou fornecer Q por 1\\ \mathrm{m^2}).

Passo 2

Modelo físico e hipótese de simplificação (explicação didática e por que usar isso).
A parede tem camadas em série na direção do fluxo (aço — rugosidade — refratário — rugosidade — aço). As rugosidades comportam-se como uma camada composta onde, em cada rugosidade, 30\% da área é preenchida por contato metálico (aço) e 70\% por ar. Para condução unidimensional normal à superfície, essas duas regiões (metal e ar) estão em paralelo (mesma diferença de temperatura através da espessura da rugosidade), logo a condutividade efetiva da camada de rugosidade é a média ponderada das condutividades pelas frações de área:
k_{\text{ef}}=\varphi\,k_{\text{s}}+(1-\varphi)\,k_{\text{ar}}.
Justificativa simples: em condução através de duas áreas paralelas sujeitas à mesma \Delta T, a condutância total é a soma das condutâncias parciais; como a espessura é a mesma, a condutividade efetiva por unidade de área é a média ponderada. Isso evita assumir resistência nula em contato e é uma aproximação comum em exercícios de transferência de calor com superfícies rugosas.
Para condução estacionária unidimensional em camadas planas, a resistência térmica por unidade de área de uma camada homogênea é
R=\frac{L}{k},
onde L é a espessura e k a condutividade. A resistência total por unidade de área é soma das resistências das camadas em série.

Passo 3

Calcular k_{\text{ef}} da camada de rugosidade.
k_{\text{ef}}=\varphi\,k_{\text{s}}+(1-\varphi)\,k_{\text{ar}} =0{,}30\cdot50{,}0 + 0{,}70\cdot0{,}015.
Calculemos numericamente:
k_{\text{ef}}=15{,}000 + 0{,}0105 = 15{,}0105\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)}.

Passo 4

Calcular as resistências por unidade de área de cada camada (usar R=L/k).
  • Resistência de uma chapa de aço:
R_{\text{s}}=\frac{L_{\text{s}}}{k_{\text{s}}}=\frac{0{,}0063}{50{,}0}=0{,}000126\\ \mathrm{m^2\cdot ^\circ C/W}.
Como há duas chapas (uma em cada lado), contribuição das chapas:
2R_{\text{s}}=2\cdot0{,}000126=0{,}000252\\ \mathrm{m^2\cdot ^\circ C/W}.
  • Resistência de cada camada de rugosidade com condutividade k_{\text{ef}} e espessura \delta_{\text{rug}}:
R_{\text{rug}}=\frac{\delta_{\text{rug}}}{k_{\text{ef}}}=\frac{0{,}0008}{15{,}0105}\approx0{,}000053292\\ \mathrm{m^2\cdot ^\circ C/W}.
Duas rugosidades (em ambos os lados):
2R_{\text{rug}}\approx2\cdot0{,}000053292=0{,}000106584\\ \mathrm{m^2\cdot ^\circ C/W}.
  • Resistência do refratário:
R_{\text{r}}=\frac{L_{\text{r}}}{k_{\text{r}}}=\frac{0{,}05}{1{,}8}=0{,}027777\overline{7}\\ \mathrm{m^2\cdot ^\circ C/W}.

Passo 5

Somar as resistências para obter a resistência térmica total por unidade de área.
R_{\text{tot}}=2R_{\text{s}}+2R_{\text{rug}}+R_{\text{r}}.
Substituindo os valores numéricos:
R_{\text{tot}}=0{,}000252 + 0{,}000106584 + 0{,}0277777778 \approx 0{,}0281363618\\ \mathrm{m^2\cdot ^\circ C/W}.

Passo 6

Calcular o fluxo de calor por unidade de área usando q''=\dfrac{\Delta T}{R_{\text{tot}}}, onde \Delta T=T_{\text{hot}}-T_{\text{cold}}=490-82=408\\ ^\circ\mathrm{C}.
q''=\frac{408}{0{,}0281363618}\approx14501{,}9\\ \mathrm{W/m^2}.
Como assumimos A=1\\ \mathrm{m^2}, a taxa de transferência de calor é
Q=q''\cdot A \approx 14501{,}9\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Interpretação final e observações rápidas:
  • O resultado é a taxa por 1\\ \mathrm{m^2}. Se uma área diferente for conhecida, multiplicar por essa área.
  • A aproximação principal feita foi modelar a rugosidade como uma camada homogênea com condutividade efetiva obtida por média ponderada (assume que metal e ar conduzem em paralelo através da mesma espessura). Isso evita assumir resistência nula nos pontos de contato e é uma aproximação prática para exercícios.

Resposta

Q \approx 1,45\times10^{4}\\ \mathrm{W\\ (por\\\ 1\\ m^{2})}

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