{ }^{a} Questão (20) Ar, com condições de estagnação de 900 kPa e 120^{\circ} \mathrm{C}, expande isentropicamente ira uma seção de saída de um bocal convergente-divergente, onde \mathrm{Ma}_{\mathrm{s}}=2,5. A área da garganta bocal é de 7,0 \mathrm{~cm}^{2}. Calcule (a) a área de saída A_{\mathrm{s}} \mathrm{em} \mathrm{cm}^{2}, (b) a vazão em massa \mathrm{em} \mathrm{kg} / \mathrm{s} e (c) a itrapressão de projeto do bocal em kPa. (d) Explique se é possível aumentar a vazão diminuindo 1 contrapressão?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
  • Pressão de estagnação: \,p_0 = 900\\ \mathrm{kPa}.
  • Temperatura de estagnação: \,T_0 = 120^\circ\mathrm{C} = 393{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Mach na saída do bocal: \,M_{\mathrm{s}} = 2{,}5.
  • Área da garganta (área crítica): \,A_t = 7{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 7{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
O que o problema pede:
(a) calcular a área de saída A_{\mathrm{s}} em \mathrm{cm}^2;
(b) calcular a vazão mássica \dot m em \mathrm{kg/s};
(c) calcular a contrapressão (pressão de projeto) do bocal em \mathrm{kPa} — isto é, a pressão estática de saída correspondente a M_{\mathrm{s}}=2{,}5;
(d) explicar se é possível aumentar a vazão diminuindo a contrapressão.
Observação sobre convenções que vou usar: para o ar tomo \gamma = 1{,}4 e R = 287\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}. Não foi dado outro valor, então é a escolha padrão.

Passo 2

Fórmula para a razão área–Mach (essa é a relação isentrópica que nos liga A/A^* com M):
\frac{A}{A^*}=\frac{1}{M}\left(\frac{2}{\gamma+1}\Big(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Big)\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}.
Explicando a fórmula passo a passo:
  • A é a área numa seção com Mach M.
  • A^* é a área crítica (na garganta, onde M=1 quando o escoamento está estrangulado).
  • \gamma é a razão de calores específicos ( 1{,}4 para ar).
    Essa fórmula vem da conservação de massa e da relação isentrópica entre densidade e velocidade; na prova decorre da combinação \dot m=\rho A V com as relações isentrópicas.
Vamos calcular primeiro a razão \dfrac{A_s}{A_t} para M=2{,}5 e \gamma=1{,}4.
Calculemos os termos intermediários:
1+\frac{\gamma-1}{2}M^2 = 1 + \frac{0{,}4}{2}\cdot(2{,}5)^2 = 1 + 0{,}2\cdot6{,}25 = 1 + 1{,}25 = 2{,}25.
\frac{2}{\gamma+1} = \frac{2}{2{,}4} = 0{,}833333\ldots
Multiplicando:
\frac{2}{\gamma+1}\Big(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\Big) = 0{,}833333\cdot 2{,}25 = 1{,}875.
O expoente da potência é
\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)} = \frac{2{,}4}{2\cdot0{,}4} = 3{,}0,
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\left(1{,}875\right)^{3{,}0} = 1{,}875^3 = 6{,}591796875.
Finalmente dividimos por M:
\frac{A_s}{A_t} = \frac{6{,}591796875}{2{,}5} = 2{,}63671875.
Portanto a área de saída é
A_s = \frac{A_s}{A_t}\,A_t = 2{,}63671875 \times 7{,}0\\ \mathrm{cm}^2 \approx 18{,}457\\ \mathrm{cm}^2.
Arredondando razoavelmente: A_s \approx 18{,}46\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 3

Agora a vazão mássica \dot m. Para um bocal convergente–divergente com garganta estrangulada (isto é, M=1 na garganta), a vazão mássica máxima depende só de p_0,\\ T_0,\\ A_t e \gamma. A expressão padrão (obtida colocando M=1 na expressão geral \dot m=\rho A V com relações isentrópicas) é:
\dot m = p_0 A_t \sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}}\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}}.
Explicando:
  • p_0 A_t tem dimensões de força e aparece porque \rho e V podem ser relacionados a p_0 e T_0 por relações isentrópicas;
  • o fator de potência é exatamente o mesmo tipo que apareceu na razão área–Mach quando se fixa M=1.
Vamos calcular numericamente com os dados:
p_0 A_t = 900{,}000\\ \mathrm{Pa}\times 7{,}0\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2 = 630\\ \mathrm{(Pa\cdot m^2)}.
\sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}} = \sqrt{\frac{1{,}4}{287\cdot 393{,}15}}.
Calculemos 287\cdot 393{,}15 = 112\,834{,}05. Então
\frac{1{,}4}{112\,834{,}05} = 1{,}24055\times10^{-5}, \quad \sqrt{\frac{\gamma}{R T_0}} \approx 0{,}003521462.
O fator de potência é (como em passo anterior mas sem o termo com 1+\dots; aqui é só \tfrac{2}{\gamma+1} elevado)
\left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma+1}{2(\gamma-1)}} = \left(0{,}833333\right)^{3{,}0} = 0{,}5787037037.
Agora multiplicando:
\dot m = 630 \times 0{,}003521462 \times 0{,}5787037037 \approx 1{,}284246\\ \mathrm{kg/s}.
Arredondando: \dot m \approx 1{,}284\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 4

Calcular a pressão estática de saída correspondente a M=2{,}5. A relação isentrópica entre pressão estática p e pressão de estagnação p_0 é:
\frac{p}{p_0}=\left(1+\frac{\gamma-1}{2}M^2\right)^{-\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Já calculamos 1+\dfrac{\gamma-1}{2}M^2 = 2{,}25. O expoente é
-\frac{\gamma}{\gamma-1} = -\frac{1{,}4}{0{,}4} = -3{,}5.
Então
\frac{p_e}{p_0} = 2{,}25^{-3{,}5} = \frac{1}{2{,}25^{3{,}5}}.
Computando 2{,}25^{3{,}5} = 17{,}0859375, portanto
\frac{p_e}{p_0} \approx 0{,}0585259.
Multiplicando por p_0 = 900\\ \mathrm{kPa}:
p_e \approx 900\\ \mathrm{kPa}\times 0{,}0585259 = 52{,}6733\\ \mathrm{kPa}.
Arredondando: p_e \approx 52{,}67\\ \mathrm{kPa}.

Passo 5

Explicação sobre aumentar a vazão diminuindo a contrapressão:
  • A vazão mássica em um bocal com garganta estrangulada está limitada pela condição de estrangulamento (choking). Enquanto a garganta estiver choked (isto é, M=1 na garganta), a vazão \dot m é determinada apenas por p_0,\\ T_0,\\ A_t e \gamma — não depende da pressão de saída (contrapressão), desde que esta seja suficientemente baixa.
  • O critério prático para que a garganta fique choked é que a pressão de descarga (back pressure) p_b seja igual ou menor que a pressão crítica correspondente a M=1 no escoamento isentrópico:
\frac{p^*}{p_0} = \left(\frac{2}{\gamma+1}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}.
Para \gamma=1{,}4 isso dá
\frac{p^*}{p_0} = 0{,}833333^{3{,}5} \approx 0{,}5283, \quad\text{logo}\quad p^* \approx 0{,}5283\times 900\\ \mathrm{kPa}\approx 475{,}5\\ \mathrm{kPa}.
  • No nosso caso a pressão de saída de projeto p_e\approx 52{,}67\\ \mathrm{kPa} é muito menor que essa pressão crítica 475{,}5\\ \mathrm{kPa}, ou seja, a garganta está efetivamente estrangulada. Portanto, diminuir ainda mais a contrapressão (torná-la menor) NÃO aumentará a vazão: a vazão já está na sua condição máxima determinada por p_0,\\ T_0,\\ A_t.
  • Observação adicional: se em um outro cenário a contrapressão fosse alta o suficiente para deixar o escoamento não-estrangulado, então reduzir a contrapressão aumentaria a vazão até o ponto em que o estrangulamento ocorresse; mas uma vez estrangulado, a vazão não aumenta mais com redução adicional da contrapressão.

Resposta

(a) A_{\mathrm{s}} \approx 18{,}46\\ \mathrm{cm}^2
(b) \dot m \approx 1{,}284\\ \mathrm{kg/s}
(c) p_{\mathrm{s}} \approx 52{,}67\\ \mathrm{kPa}
(d) Não; neste caso a garganta está choked, portanto reduzir a contrapressão não aumenta a vazão.

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