Questão (20) Ar, com condições de estagnação de 900 kPa e
, expande isentropicamente ira uma seção de saída de um bocal convergente-divergente, onde
. A área da garganta bocal é de
. Calcule (a) a área de saída
, (b) a vazão em massa
e (c) a itrapressão de projeto do bocal em kPa. (d) Explique se é possível aumentar a vazão diminuindo 1 contrapressão?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados (vou listar tudo claramente):
- Pressão de estagnação:
. - Temperatura de estagnação:
. - Mach na saída do bocal:
. - Área da garganta (área crítica):
.
O que o problema pede:
(a) calcular a área de saída em
;
(b) calcular a vazão mássica em
;
(c) calcular a contrapressão (pressão de projeto) do bocal em — isto é, a pressão estática de saída correspondente a
;
(d) explicar se é possível aumentar a vazão diminuindo a contrapressão.
(a) calcular a área de saída
(b) calcular a vazão mássica
(c) calcular a contrapressão (pressão de projeto) do bocal em
(d) explicar se é possível aumentar a vazão diminuindo a contrapressão.
Observação sobre convenções que vou usar: para o ar tomo
e
. Não foi dado outro valor, então é a escolha padrão.
Passo 2
Fórmula para a razão área–Mach (essa é a relação isentrópica que nos liga
com
):
Explicando a fórmula passo a passo:
-
é a área numa seção com Mach . -
é a área crítica (na garganta, onde quando o escoamento está estrangulado). -
é a razão de calores específicos ( para ar).
Essa fórmula vem da conservação de massa e da relação isentrópica entre densidade e velocidade; na prova decorre da combinaçãocom as relações isentrópicas.
Vamos calcular primeiro a razão
para
e
.
Calculemos os termos intermediários:
Multiplicando:
O expoente da potência é
logo
Finalmente dividimos por
:
Portanto a área de saída é
Arredondando razoavelmente:
.
Passo 3
Agora a vazão mássica
. Para um bocal convergente–divergente com garganta estrangulada (isto é,
na garganta), a vazão mássica máxima depende só de
e
. A expressão padrão (obtida colocando
na expressão geral
com relações isentrópicas) é:
Explicando:
-
tem dimensões de força e aparece porque e podem ser relacionados a e por relações isentrópicas; - o fator de potência é exatamente o mesmo tipo que apareceu na razão área–Mach quando se fixa
.
Vamos calcular numericamente com os dados:
Calculemos
. Então
O fator de potência é (como em passo anterior mas sem o termo com
; aqui é só
elevado)
Agora multiplicando:
Arredondando:
.
Passo 4
Calcular a pressão estática de saída correspondente a
. A relação isentrópica entre pressão estática
e pressão de estagnação
é:
Já calculamos
. O expoente é
Então
Computando
, portanto
Multiplicando por
:
Arredondando:
.
Passo 5
Explicação sobre aumentar a vazão diminuindo a contrapressão:
- A vazão mássica em um bocal com garganta estrangulada está limitada pela condição de estrangulamento (choking). Enquanto a garganta estiver choked (isto é,
na garganta), a vazão é determinada apenas por e — não depende da pressão de saída (contrapressão), desde que esta seja suficientemente baixa. - O critério prático para que a garganta fique choked é que a pressão de descarga (back pressure)
seja igual ou menor que a pressão crítica correspondente a no escoamento isentrópico:
Para
isso dá
- No nosso caso a pressão de saída de projeto
é muito menor que essa pressão crítica , ou seja, a garganta está efetivamente estrangulada. Portanto, diminuir ainda mais a contrapressão (torná-la menor) NÃO aumentará a vazão: a vazão já está na sua condição máxima determinada por . - Observação adicional: se em um outro cenário a contrapressão fosse alta o suficiente para deixar o escoamento não-estrangulado, então reduzir a contrapressão aumentaria a vazão até o ponto em que o estrangulamento ocorresse; mas uma vez estrangulado, a vazão não aumenta mais com redução adicional da contrapressão.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d) Não; neste caso a garganta está choked, portanto reduzir a contrapressão não aumenta a vazão.
(b)
(c)
(d) Não; neste caso a garganta está choked, portanto reduzir a contrapressão não aumenta a vazão.