Questão 6 - O filamento de uma lâmpada de 100 W tem 6,4 cm de comprimento e 0,20 \mathrm{~mm} de diâmetro. Considerando que 85 \% da potência dissipada seja irradiada e que a emissividade do filamento tenha o valor de 0,92 , calcule:
a) sua temperatura
b) o comprimento de onda da intensidade máxima irradiada.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
  • Potência elétrica da lâmpada: 100\\ \mathrm{W}.
  • Fração da potência que é irradiada: 85\%.
  • Emissividade do filamento: \varepsilon=0{,}92.
  • Comprimento do filamento: L=6{,}4\\ \mathrm{cm}.
  • Diâmetro do filamento: d=0{,}20\\ \mathrm{mm}.
O enunciado pede:
(a) calcular a temperatura do filamento;
(b) calcular o comprimento de onda \lambda_{\max} da intensidade máxima irradiada.

Passo 2

Primeiro colocar todas as unidades no SI e calcular a área superficial aproximada do filamento (assumindo filamento como um cilindro fino e desprezando as extremidades).
Converter unidades:
L = 6{,}4\\ \mathrm{cm} = 0{,}064\\ \mathrm{m}, \qquad d = 0{,}20\\ \mathrm{mm} = 0{,}00020\\ \mathrm{m}.
Área lateral do cilindro:
A = \pi d L.
Calcular dL:
dL = 0{,}00020 \times 0{,}064 = 1{,}28\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.
Portanto
A = \pi \times 1{,}28\times10^{-5} \approx 4{,}02\times10^{-5}\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Explicar a lei que vamos usar e qual potência entra na conta.
A potência irradiada por um corpo (modelo de corpo cinza) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
P_{\text{rad}}=\varepsilon\,\sigma\,A\,T^{4},
onde:
  • \varepsilon é a emissividade (adiim.), aqui \varepsilon=0{,}92;
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, \sigma=5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}};
  • A é a área superficial que emitiu radiação (já calculada);
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
A potência irradiada é 85\% da potência total:
P_{\text{rad}}=0{,}85\times100\\ \mathrm{W}=85\\ \mathrm{W}.
Queremos isolar T:
T=\left(\dfrac{P_{\text{rad}}}{\varepsilon\,\sigma\,A}\right)^{1/4}.

Passo 4

Fazer as contas numéricas passo a passo.
Calcular \sigma A:
\sigma A = \left(5{,}670374419\times10^{-8}\right)\times\left(4{,}02\times10^{-5}\right) \approx 2{,}28\times10^{-12}\\ \mathrm{W\,K^{-4}}.
Multiplicar por \varepsilon:
\varepsilon\,\sigma A \approx 0{,}92\times 2{,}28\times10^{-12} \approx 2{,}10\times10^{-12}.
Calcular a razão:
\frac{P_{\text{rad}}}{\varepsilon\,\sigma A} \approx \frac{85}{2{,}10\times10^{-12}} \approx 4{,}05\times10^{13}.
Agora a raiz quarta:
T = \left(4{,}05\times10^{13}\right)^{1/4} \approx 2520\\ \mathrm{K}.
Observação didática rápida: para extrair a raiz quarta pode-se tomar logaritmos ou fazer duas raízes quadradas sucessivas; aqui foi usado cálculo numérico direto, mas em prova pode-se simplificar com tabelas ou calculadora quando permitida.

Passo 5

Agora calcular o comprimento de onda de máxima intensidade usando a lei de deslocamento de Wien.
A lei de Wien diz:
\lambda_{\max}=\frac{b}{T},
onde b é a constante de Wien: b=2{,}897771955\times10^{-3}\\ \mathrm{m\cdot K}.
Substituindo T\approx2520\\ \mathrm{K}:
\lambda_{\max}=\frac{2{,}897771955\times10^{-3}}{2520} \approx 1{,}15\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
Converter para nanômetros:
1{,}15\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 1150\\ \mathrm{nm}.
Comentário físico curto: esse \lambda_{\max} está no infravermelho próximo, o que é esperado — o filamento emite um espectro amplo e também parte da emissão cai no visível, por isso a lâmpada ilumina mesmo com pico no IR.

Resposta

T \approx 2520\\ \mathrm{K}
\lambda_{\max} \approx 1{,}15\times10^{-6}\\ \mathrm{m} = 1150\\ \mathrm{nm}

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