Questão 6 - O filamento de uma lâmpada de 100 W tem 6,4 cm de comprimento e
de diâmetro. Considerando que
da potência dissipada seja irradiada e que a emissividade do filamento tenha o valor de 0,92 , calcule:
a) sua temperatura
b) o comprimento de onda da intensidade máxima irradiada.
a) sua temperatura
b) o comprimento de onda da intensidade máxima irradiada.
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas claras:
- Potência elétrica da lâmpada:
. - Fração da potência que é irradiada:
. - Emissividade do filamento:
. - Comprimento do filamento:
. - Diâmetro do filamento:
.
O enunciado pede:
(a) calcular a temperatura do filamento;
(b) calcular o comprimento de onda da intensidade máxima irradiada.
(a) calcular a temperatura do filamento;
(b) calcular o comprimento de onda
Passo 2
Primeiro colocar todas as unidades no SI e calcular a área superficial aproximada do filamento (assumindo filamento como um cilindro fino e desprezando as extremidades).
Converter unidades:
Área lateral do cilindro:
Calcular
:
Portanto
Passo 3
Explicar a lei que vamos usar e qual potência entra na conta.
A potência irradiada por um corpo (modelo de corpo cinza) é dada pela lei de Stefan–Boltzmann:
onde:
-
é a emissividade (adiim.), aqui ; -
é a constante de Stefan–Boltzmann, ; -
é a área superficial que emitiu radiação (já calculada); -
é a temperatura absoluta em kelvin.
A potência irradiada é
da potência total:
Queremos isolar
:
Passo 4
Fazer as contas numéricas passo a passo.
Calcular
:
Multiplicar por
:
Calcular a razão:
Agora a raiz quarta:
Observação didática rápida: para extrair a raiz quarta pode-se tomar logaritmos ou fazer duas raízes quadradas sucessivas; aqui foi usado cálculo numérico direto, mas em prova pode-se simplificar com tabelas ou calculadora quando permitida.
Passo 5
Agora calcular o comprimento de onda de máxima intensidade usando a lei de deslocamento de Wien.
A lei de Wien diz:
onde
é a constante de Wien:
.
Substituindo
:
Converter para nanômetros:
Comentário físico curto: esse
está no infravermelho próximo, o que é esperado — o filamento emite um espectro amplo e também parte da emissão cai no visível, por isso a lâmpada ilumina mesmo com pico no IR.