Questão 3 - Um curto cilindro de latão de 10 cm de diâmetro e uma altura de 12 centímetros está inicialmente a uma temperatura uniforme de 120^{\circ} \mathrm{C}. Após, o cilindro é colocado no ar atmosférico a 25^{\circ} \mathrm{C}, onde a transferência de calor ocorre por convecção, com \mathrm{h}=60 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} .{ }^{\circ} \mathrm{C}. Calcule a temperatura (a) no centro do cilindro e (b) no centro da superficie de topo do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.
Dados: \mathrm{k}=110 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}, \mathrm{a}=33,9 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}

Passo 1

O enunciado pede as temperaturas no interior de um cilindro de latão depois de certo tempo de resfriamento. Vou listar claramente os dados fornecidos e o que se pede.
Dados fornecidos:
  • diâmetro do cilindro: D=0,10\\ \mathrm{m} (portanto raio r=\tfrac{D}{2}=0,05\\ \mathrm{m});
  • altura: H=0,12\\ \mathrm{m};
  • temperatura inicial uniforme: T_i=120^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do ar: T_\infty=25^\circ\mathrm{C};
  • coeficiente de convecção: h=60\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)};
  • condutividade térmica: k=110\\ \mathrm{W/(m\cdot ^\circ C)};
  • difusividade térmica: a=33{,}9\times10^{-6}\\ \mathrm{m^2/s};
  • tempo pedido: t=15\\ \mathrm{min}=900\\ \mathrm{s}.
O enunciado pergunta:
(a) temperatura no centro do cilindro após 15 minutos;
(b) temperatura no centro da superfície do topo do cilindro após 15 minutos.

Passo 2

Escolha do método: para problemas de transiente de calor existem duas abordagens comuns:
  • método de capacitância lumped (corpo de temperatura praticamente uniforme), válido quando o número de Biot \mathrm{Bi}=hL_c/k é pequeno (regra prática: \mathrm{Bi}<0{,}1);
  • solução distribuída (usando séries próprias ou funções de resposta) quando \mathrm{Bi} não é pequeno.
Vou calcular \mathrm{Bi}. Para isso preciso do comprimento característico L_c. Para um corpo qualquer:
L_c=\dfrac{V}{A_s},
onde V é o volume e A_s é a área de superfície externa que troca calor por convecção.
Cálculo do volume do cilindro:
V=\pi r^2 H=\pi(0,05)^2(0,12)=\pi\cdot0,0025\cdot0,12=\pi\cdot0,0003\\ \mathrm{m^3}.
Numericamente:
V\approx 0{,}00094248\\ \mathrm{m^3}.
Área de superfície externa (lateral + topo + base):
A_s=\text{área lateral} + \text{área dos dois discos}áá
A_s=\pi D H + 2\pi r^2=\pi\cdot0,10\cdot0,12 + 2\pi\cdot(0,05)^2.
Numericamente:
A_s\approx 0{,}0376991 + 0{,}0157080 \approx 0{,}0534071\\ \mathrm{m^2}.
Agora L_c:
L_c=\dfrac{V}{A_s}\approx \dfrac{0{,}00094248}{0{,}0534071}\approx 0{,}01765\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Cálculo do número de Biot:
\mathrm{Bi}=\dfrac{h L_c}{k}=\dfrac{60\cdot 0{,}01765}{110}\approx 0{,}0096.
Como \mathrm{Bi}\approx 0{,}0096 \ll 0{,}1, a condição para aplicar o método de capacitância lumped é satisfeita. Isso significa fisicamente que a resistência térmica interna do cilindro é muito pequena em relação à resistência por convecção na superfície, portanto a temperatura dentro do sólido pode ser considerada praticamente uniforme em cada instante.
Consequência importante: a temperatura no centro do cilindro e a temperatura no centro da superfície do topo serão essencialmente a mesma função do tempo (ou seja, iguais) dentro da precisão do modelo lumped.

Passo 4

Equação do modelo lumped (balanço de energia):
T(t)=T_\infty + \bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\biggl(-\dfrac{h A_s}{\rho V c_p}\,t\biggr),
onde \rho é a massa volúmica e c_p o calor específico. Como \rho e c_p não foram fornecidos separadamente, uso a relação entre difusividade e propriedades:
a=\dfrac{k}{\rho c_p}\quad\Longrightarrow\quad \rho c_p=\dfrac{k}{a}.
Substituindo em \dfrac{hA_s}{\rho V c_p} obtemos uma forma que usa apenas k e a:
\dfrac{h A_s}{\rho V c_p}=\dfrac{h A_s a}{k V}.
Assim a solução fica
T(t)=T_\infty + \bigl(T_i-T_\infty\bigr)\exp\!\biggl(-\dfrac{h A_s a}{k V}\,t\biggr).
Aqui explico cada termo:
  • T(t) é a temperatura uniforme do corpo no tempo t;
  • T_\infty é a temperatura do fluido ambiente;
  • T_i é a temperatura inicial uniforme do corpo;
  • h A_s representa a potência por diferença de temperatura que o fluido extrai;
  • \rho V c_p é a capacidade térmica total do corpo (quantidade de energia necessária para mudar sua temperatura);
  • a e k conectam essas propriedades pela identidade dada.

Passo 5

Cálculo do coeficiente exponencial \beta=\dfrac{h A_s a}{k V}.
Calcule hA_s:
h A_s = 60\cdot 0{,}0534071 \approx 3{,}2044246\\ \mathrm{W/K}.
Multiplicando por a:
h A_s a \approx 3{,}2044246 \cdot 33{,}9\times10^{-6} \approx 0{,}00010863\\ \mathrm{W\cdot m^2/(K\cdot s)}.
Calcule kV:
k V = 110\cdot 0{,}00094248 \approx 0{,}1036726\\ \mathrm{W\cdot s / K}.
Agora
\beta=\dfrac{h A_s a}{k V}\approx \dfrac{0{,}00010863}{0{,}1036726}\approx 0{,}001048\\ \mathrm{s^{-1}}.

Passo 6

Calcule a temperatura no tempo t=900\\ \mathrm{s}:
\exp(-\beta t)=\exp(-0{,}001048\cdot 900)=\exp(-0{,}943)\approx 0{,}389.
Portanto
T(900)=25 + (120-25)\cdot 0{,}389 = 25 + 95\cdot 0{,}389 \approx 25 + 36{,}99 \approx 61{,}99\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando, T(900)\approx 62{,}0\\ ^\circ\mathrm{C}.
Lembrando a conclusão do Passo 3: por validade do modelo lumped, a temperatura é praticamente uniforme no corpo, logo o centro do cilindro e o centro da superfície do topo têm a mesma temperatura calculada.

Passo 7

Resumo e interpretação final: após 15 minutos de resfriamento no ar com h=60\\ \mathrm{W/(m^2\cdot ^\circ C)}, o cilindro atinge aproximadamente 62{,}0^\circ\mathrm{C} em toda sua massa (diferenças internas desprezíveis pela baixa \mathrm{Bi}). Isso responde as duas perguntas pedidas.

Resposta

(a) T_\text{centro}(15\\ \text{min}) \approx 62{,}0^\circ\mathrm{C}
(b) T_\text{centro do topo}(15\\ \text{min}) \approx 62{,}0^\circ\mathrm{C}

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