Questão 3 - Um curto cilindro de latão de 10 cm de diâmetro e uma altura de 12 centímetros está inicialmente a uma temperatura uniforme de
. Após, o cilindro é colocado no ar atmosférico a
, onde a transferência de calor ocorre por convecção, com
. Calcule a temperatura (a) no centro do cilindro e (b) no centro da superficie de topo do cilindro 15 minutos após o início do resfriamento.
Dados:
Dados:
Passo 1
O enunciado pede as temperaturas no interior de um cilindro de latão depois de certo tempo de resfriamento. Vou listar claramente os dados fornecidos e o que se pede.
Dados fornecidos:
- diâmetro do cilindro:
(portanto raio ); - altura:
; - temperatura inicial uniforme:
; - temperatura do ar:
; - coeficiente de convecção:
; - condutividade térmica:
; - difusividade térmica:
; - tempo pedido:
.
O enunciado pergunta:
(a) temperatura no centro do cilindro após minutos;
(b) temperatura no centro da superfície do topo do cilindro após minutos.
(a) temperatura no centro do cilindro após
(b) temperatura no centro da superfície do topo do cilindro após
Passo 2
Escolha do método: para problemas de transiente de calor existem duas abordagens comuns:
- método de capacitância lumped (corpo de temperatura praticamente uniforme), válido quando o número de Biot
é pequeno (regra prática: ); - solução distribuída (usando séries próprias ou funções de resposta) quando
não é pequeno.
Vou calcular
. Para isso preciso do comprimento característico
. Para um corpo qualquer:
onde
é o volume e
é a área de superfície externa que troca calor por convecção.
Cálculo do volume do cilindro:
Numericamente:
Área de superfície externa (lateral + topo + base):
Numericamente:
Agora
:
Passo 3
Cálculo do número de Biot:
Como
, a condição para aplicar o método de capacitância lumped é satisfeita. Isso significa fisicamente que a resistência térmica interna do cilindro é muito pequena em relação à resistência por convecção na superfície, portanto a temperatura dentro do sólido pode ser considerada praticamente uniforme em cada instante.
Consequência importante: a temperatura no centro do cilindro e a temperatura no centro da superfície do topo serão essencialmente a mesma função do tempo (ou seja, iguais) dentro da precisão do modelo lumped.
Passo 4
Equação do modelo lumped (balanço de energia):
onde
é a massa volúmica e
o calor específico. Como
e
não foram fornecidos separadamente, uso a relação entre difusividade e propriedades:
Substituindo em
obtemos uma forma que usa apenas
e
:
Assim a solução fica
Aqui explico cada termo:
-
é a temperatura uniforme do corpo no tempo ; -
é a temperatura do fluido ambiente; -
é a temperatura inicial uniforme do corpo; -
representa a potência por diferença de temperatura que o fluido extrai; -
é a capacidade térmica total do corpo (quantidade de energia necessária para mudar sua temperatura); -
e conectam essas propriedades pela identidade dada.
Passo 5
Cálculo do coeficiente exponencial
.
Calcule
:
Multiplicando por
:
Calcule
:
Agora
Passo 6
Calcule a temperatura no tempo
:
Portanto
Arredondando,
.
Lembrando a conclusão do Passo 3: por validade do modelo lumped, a temperatura é praticamente uniforme no corpo, logo o centro do cilindro e o centro da superfície do topo têm a mesma temperatura calculada.
Passo 7
Resumo e interpretação final: após
minutos de resfriamento no ar com
, o cilindro atinge aproximadamente
em toda sua massa (diferenças internas desprezíveis pela baixa
). Isso responde as duas perguntas pedidas.
Resposta
(a)
(b)
(b)