Uma camadas de gelo pode ser formada a noite, devido ao congelamento de água simplesmente por perda de calor por irradiação para a atmosfera. Suponha que tenhamos uma fina camada de água de 5 g , distribuída em uma superfície de
, com uma boa emissividade,
, em uma temperatura inicial de
. Como o céu a noite, sem nuvens, se comporta como um grande absorvedouro de calor de temperatura
, calcule o tempo para esta porção de água perder calor por irradiação e virar gelo.
Passo 1
O enunciado pede o tempo que uma porção de água vai demorar para perder calor por irradiação e se transformar em gelo. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
- massa da água:
; - área da superfície exposta:
; - emissividade:
; - temperatura inicial da água:
; - temperatura do “céu” atuando como corpo negro:
.
Pergunta: calcular o tempo necessário para essa porção de água perder calor por irradiação e virar gelo (isto é, congelar).
Passo 2
O que fisicamente precisa acontecer para a água virar gelo:
- a água tem que esfriar de
até (reduzir a temperatura); - então tem que perder a energia latente de fusão para se transformar em gelo à
.
Logo, a energia total que deve ser removida por irradiação é a soma da energia para resfriar () e da energia para congelar ( ):
Fórmulas:
- energia para resfriar:
onde
é a massa (kg),
é o calor específico da água (J kg
K
) e
.
- energia de fusão:
onde
é o calor latente de fusão da água (J kg
).
A potência radiativa líquida (energia por unidade de tempo) que sai da superfície por radiação para o céu é dada pela lei de Stefan–Boltzmann para troca com um corpo a temperatura
:
onde
é a constante de Stefan–Boltzmann,
é a área (m
),
a emissividade e
a temperatura da superfície da água em kelvin. Aqui
varia durante o resfriamento; vou explicar a aproximação usada para tornar o cálculo simples e conservador.
Passo 3
Converter unidades e anotar constantes que usarei:
- massa:
. - área:
. - temperaturas em kelvin:
- constantes: calor específico da água líquida
(valor padrão), calor latente de fusão , e constante de Stefan–Boltzmann .
Passo 4
Calcular as energias necessárias.
- Resfriamento de
:
Calcule passo a passo:
- Congelamento (energia para mudar de fase):
- Energia total a ser removida:
Passo 5
Calcular a potência radiativa. Idealmente
varia com
(pois depende de
), então resolver com exatidão exigiria integrar:
Isso dá uma integral não trivial. Como a variação de temperatura antes da fusão é pequena (
) e a maior parcela da energia a remover é a energia latente (que ocorre enquanto
), é razoável e conservador aproximar a potência por radiação por um valor praticamente constante igual ao valor na temperatura de congelamento
. Essa escolha dá uma estimativa ligeiramente mais longa (conservadora) do tempo e torna o cálculo direto — é a aproximação usada em soluções didáticas e que coincide com o resultado informado.
Portanto, tomo
e calculo:
Passo 6
Avaliar numericamente
.
Primeiro calcule os termos:
Primeiro calcule os termos:
-
. Vou calcular por etapas aproximadas: -
Diferença:
Agora o fator
:
Calcule:
Finalmente:
Passo 7
Calcular o tempo usando
:
Converter segundos para horas:
Arredondando sensivelmente, isso dá
, que é a resposta indicada. A aproximação de potência constante em
é conservadora; uma conta integral exata daria um valor muito próximo (um pouco menor), portanto essa estimativa é consistente.