Uma camadas de gelo pode ser formada a noite, devido ao congelamento de água simplesmente por perda de calor por irradiação para a atmosfera. Suponha que tenhamos uma fina camada de água de 5 g , distribuída em uma superfície de 9,0 \mathrm{~cm}^{2}, com uma boa emissividade, e=0,90, em uma temperatura inicial de 6,0^{\circ} \mathrm{C}. Como o céu a noite, sem nuvens, se comporta como um grande absorvedouro de calor de temperatura -23^{\circ} \mathrm{C}, calcule o tempo para esta porção de água perder calor por irradiação e virar gelo.
\mathrm{R}: 6,6 \mathrm{~h}

Passo 1

O enunciado pede o tempo que uma porção de água vai demorar para perder calor por irradiação e se transformar em gelo. Dados fornecidos (vou listar exatamente como estão no enunciado):
  • massa da água: m=5{,}0\\ \mathrm{g};
  • área da superfície exposta: A=9{,}0\\ \mathrm{cm}^{2};
  • emissividade: e=0{,}90;
  • temperatura inicial da água: T_i=6{,}0^\circ\mathrm{C};
  • temperatura do “céu” atuando como corpo negro: T_{\text{céu}}=-23^\circ\mathrm{C}é.
    Pergunta: calcular o tempo necessário para essa porção de água perder calor por irradiação e virar gelo (isto é, congelar).

Passo 2

O que fisicamente precisa acontecer para a água virar gelo:
  1. a água tem que esfriar de T_i até 0^\circ\mathrm{C} (reduzir a temperatura);
  2. então tem que perder a energia latente de fusão para se transformar em gelo à 0^\circ\mathrm{C}.
    Logo, a energia total que deve ser removida por irradiação é a soma da energia para resfriar ( Q_{\text{resf}}) e da energia para congelar ( Q_{\text{fus}}):
Q_{\text{total}} = Q_{\text{resf}} + Q_{\text{fus}}.
Fórmulas:
  • energia para resfriar: Q_{\text{resf}} = m\, c\, \Delta T,
onde m é a massa (kg), c é o calor específico da água (J kg ^{-1} K ^{-1}) e \Delta T = T_i - 0^\circ\mathrm{C}.
  • energia de fusão: Q_{\text{fus}} = m\, L_f,
onde L_f é o calor latente de fusão da água (J kg ^{-1}).
A potência radiativa líquida (energia por unidade de tempo) que sai da superfície por radiação para o céu é dada pela lei de Stefan–Boltzmann para troca com um corpo a temperatura T_{\text{céu}}é:
P = e\,\sigma\,A\left(T_s^4 - T_{\text{céu}}^4\right),é
onde \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann, A é a área (m ^2), e a emissividade e T_s a temperatura da superfície da água em kelvin. Aqui T_s varia durante o resfriamento; vou explicar a aproximação usada para tornar o cálculo simples e conservador.

Passo 3

Converter unidades e anotar constantes que usarei:
  • massa: m = 5{,}0\\ \mathrm{g} = 0{,}0050\\ \mathrm{kg}.
  • área: A = 9{,}0\\ \mathrm{cm}^2 = 9{,}0\times 10^{-4}\\ \mathrm{m}^2.
  • temperaturas em kelvin: T_i = 6{,}0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 + 6{,}0 = 279{,}15\\ \mathrm{K},
T_f = 0{,}0^\circ\mathrm{C} = 273{,}15\\ \mathrm{K},
T_{\text{céu}} = -23^\circ\mathrm{C} = 273{,}15 - 23 = 250{,}15\\ \mathrm{K}.é
  • constantes: calor específico da água líquida c \approx 4186\\ \mathrm{J\,kg^{-1}\,K^{-1}} (valor padrão), calor latente de fusão L_f \approx 3{,}34\times 10^{5}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}, e constante de Stefan–Boltzmann \sigma = 5{,}67\times 10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.

Passo 4

Calcular as energias necessárias.
  • Resfriamento de 6{,}0\\ \mathrm{K}:
Q_{\text{resf}} = m\,c\,\Delta T = 0{,}0050\cdot 4186\cdot 6{,}0.
Calcule passo a passo:
0{,}0050\cdot 4186 = 20{,}93\\ \mathrm{J\,K^{-1}},
Q_{\text{resf}} = 20{,}93\cdot 6{,}0 = 125{,}6\\ \mathrm{J}.
  • Congelamento (energia para mudar de fase):
Q_{\text{fus}} = m\,L_f = 0{,}0050\cdot 3{,}34\times 10^{5} = 1{,}670\\ \mathrm{J}\times 10^{0} = 1670\\ \mathrm{J}.
  • Energia total a ser removida:
Q_{\text{total}} = 125{,}6 + 1670 = 1795{,}6\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a potência radiativa. Idealmente P varia com T_s (pois depende de T_s^4), então resolver com exatidão exigiria integrar:
m c \frac{dT}{dt} = -e\sigma A\left(T^4 - T_{\text{céu}}^4\right).é
Isso dá uma integral não trivial. Como a variação de temperatura antes da fusão é pequena ( 6{,}0\\ \mathrm{K}) e a maior parcela da energia a remover é a energia latente (que ocorre enquanto T_s\approx 0^\circ\mathrm{C}), é razoável e conservador aproximar a potência por radiação por um valor praticamente constante igual ao valor na temperatura de congelamento T_s\approx 0^\circ\mathrm{C}. Essa escolha dá uma estimativa ligeiramente mais longa (conservadora) do tempo e torna o cálculo direto — é a aproximação usada em soluções didáticas e que coincide com o resultado informado.
Portanto, tomo T_s = T_f = 273{,}15\\ \mathrm{K} e calculo:
P = e\sigma A\left(T_f^4 - T_{\text{céu}}^4\right).é

Passo 6

Avaliar numericamente P.
Primeiro calcule os termos:
  • T_f^4 = (273{,}15)^4. Vou calcular por etapas aproximadas: 273{,}15^2 = 74610{,}9225\quad\Rightarrow\quad 273{,}15^4 \approx 7{,}4610{,}9225\times 10^{4}\\ \text{ao quadrado} \approx 5{,}567\times 10^{9}.
  • T_{\text{céu}}^4 = (250{,}15)^4 \approx 3{,}915\times 10^{9}.é
    Diferença:
T_f^4 - T_{\text{céu}}^4 \approx 5{,}567\times 10^{9} - 3{,}915\times 10^{9} = 1{,}652\times 10^{9}\\ \mathrm{K^4}.é
Agora o fator e\sigma A:
e\sigma A = 0{,}90\cdot 5{,}67\times 10^{-8}\cdot 9{,}0\times 10^{-4}.
Calcule:
5{,}67\times 10^{-8}\cdot 9{,}0\times 10^{-4} = 5{,}103\times 10^{-11},
e\sigma A = 0{,}90\cdot 5{,}103\times 10^{-11} = 4{,}593\times 10^{-11}\\ \mathrm{W\,K^{-4}}.
Finalmente:
P = 4{,}593\times 10^{-11}\cdot 1{,}652\times 10^{9} \approx 7{,}59\times 10^{-2}\\ \mathrm{W} = 0{,}0759\\ \mathrm{W}.

Passo 7

Calcular o tempo usando t = Q_{\text{total}}/P:
t = \frac{1795{,}6\\ \mathrm{J}}{0{,}0759\\ \mathrm{W}} \approx 23660\\ \mathrm{s}.
Converter segundos para horas:
23660\\ \mathrm{s}\times\frac{1\\ \mathrm{h}}{3600\\ \mathrm{s}} \approx 6{,}57\\ \mathrm{h}.
Arredondando sensivelmente, isso dá 6{,}6\\ \mathrm{h}, que é a resposta indicada. A aproximação de potência constante em 0^\circ\mathrm{C} é conservadora; uma conta integral exata daria um valor muito próximo (um pouco menor), portanto essa estimativa é consistente.

Resposta

6{,}6\\ \mathrm{h}

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