Considere uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal do ponto a para o ponto b. Dados, \mathrm{pa}, \mathrm{pb}, \mathrm{Va}, \mathrm{Vb} as pressões e volumes em cada ponto.
a) Faça o grafico de uma transformação desse tipo no gráfico Pressão x Volume.
b) Qual a variação de energia interna ao longo de ab?
c) Qual a variação de entropia ao longo da isotérmica ab?
d) É possível realizar, através de um processo reversível, uma expansão adiabática tendo como ponto inicial \boldsymbol{a} e ponto final \boldsymbol{b} ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (resumindo de forma clara):
  • Trata-se de uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal do ponto a para o ponto b.
  • Dados: \mathrm{p_a},\\ \mathrm{p_b},\\ \mathrm{V_a},\\ \mathrm{V_b} — pressões e volumes nos pontos a e b.
  • Implicitamente, por ser expansão, assumimos \mathrm{V_b}>\mathrm{V_a} e, numa isotérmica de gás ideal, então \mathrm{p_b}<\mathrm{p_a}.
Perguntas pedidas:
a) Fazer o gráfico da transformação no plano Pressão p versus Volume V.
b) Calcular a variação de energia interna \Delta U ao longo de a\to b.
c) Calcular a variação de entropia \Delta S ao longo da isotérmica a\to b.
d) Verificar se é possível, por um processo reversível, realizar uma expansão adiabática tendo o mesmo ponto inicial a e ponto final b; justificar.

Passo 2

Gráfico da isotérmica (resolução do item a — o que desenhar e por quê).
  • Para um gás ideal, a equação de estado é pV=nRT, onde:
    • p é a pressão,
    • V é o volume,
    • n é a quantidade de matéria (mols),
    • R é a constante dos gases,
    • T é a temperatura absoluta.
  • Numa isotérmica T é constante; portanto p como função de V é p(V)=\frac{nRT}{V}.
  • Como nRT é constante nessa transformação, a curva p(V) é uma hipérbole decrescente no diagrama p versus V: quando V cresce p diminui.
  • Podemos escrever a hipérbole usando os pontos dados, porque nRT=p_aV_a=p_bV_b. Assim p(V)=\frac{p_aV_a}{V}.
  • No gráfico, marque o ponto a=(V_a,p_a) e o ponto b=(V_b,p_b). A curva contínua (reversível) passa por a e por b seguindo a hipérbole p(V)=p_aV_a/V. Como é expansão, a seta é de a para b com V aumentando e p diminuindo.

Passo 3

Variação da energia interna \Delta U (item b) — teoria e aplicação passo a passo.
  • Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico, a energia interna é função somente da temperatura. Em geral: U = U(T) = n C_V T,onde C_V é a capacidade calorífica molar a volume constante (constante para gás ideal idealmente modelado) e n é o número de mols.
  • Portanto, a variação de energia interna entre dois estados é \Delta U = n C_V (T_b - T_a).
  • Numa transformação isotérmica temos T_b=T_a, logo \Delta U = n C_V (T_b - T_a)=0.
  • Conclusão: ao longo da isotérmica a\to b a variação da energia interna é nula.

Passo 4

Cálculo da variação de entropia \Delta S (item c) — teoria, integral e interpretação.
  • Definição termodinâmica para variação de entropia numa transformação reversível: \Delta S=\int_{a}^{b}\frac{\delta q_\text{rev}}{T}.Aqui \delta q_\text{rev} é o calor trocado diferencialmente ao longo do processo reversível.
  • Numa isotérmica T é constante, então a integral simplifica para \Delta S=\frac{1}{T}\int_{a}^{b}\delta q_\text{rev}=\frac{q_\text{rev}}{T}.
  • Para uma transformação reversível o trabalho realizado pelo gás é w_\text{rev}=\int_{V_a}^{V_b} p\,dV.Pelo primeiro princípio, para uma transformação qualquer \Delta U = q_\text{rev} + w_\text{rev} (sinal convencional: w trabalho feito sobre o sistema; se usarmos trabalho feito pelo gás, há sinal oposto). Vou usar a convenção termodinâmica usual \Delta U = q + w com w trabalho feito sobre o sistema. Para ficar claro e simples: quando o gás se expande, o trabalho feito pelo gás é W_\text{by}=\int_{V_a}^{V_b} p\,dV,e esse é o negativo do w da forma \Delta U = q + w. No entanto, para encontrar q_\text{rev} basta calcular o calor equivalente pela energia: em isoterma \Delta U=0 (passo anterior), então q_\text{rev} = -w = W_\text{by}.Para evitar confusão, vou calcular W_\text{by}=\int p\,dV e depois q_\text{rev}=W_\text{by}.
  • Substituindo p=\dfrac{nRT}{V} na integral do trabalho feito pelo gás: W_\text{by}=\int_{V_a}^{V_b}\frac{nRT}{V}\,dV = nRT\int_{V_a}^{V_b}\frac{dV}{V}.Como T é constante, a integral é imediata: W_\text{by}=nRT\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
  • Então o calor trocado reversivelmente é q_\text{rev}=W_\text{by}=nRT\ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right). Portanto: \Delta S=\frac{q_\text{rev}}{T}=\frac{nRT\ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right)}{T}=nR\ln\!\left(\frac{V_b}{V_a}\right).
  • Podemos também escrever \Delta S em função das pressões usando p_aV_a=p_bV_b=nRT. Da relação p_aV_a=p_bV_b segue \frac{V_b}{V_a}=\frac{p_a}{p_b}.Assim, uma forma alternativa conveniente é \Delta S=nR\ln\!\left(\frac{p_a}{p_b}\right).
  • Observação física: como \mathrm{V_b}>\mathrm{V_a} em uma expansão isotérmica, \ln(V_b/V_a)>0 e portanto \Delta S>0, ou seja, a entropia do gás aumenta na expansão reversível isotérmica.

Passo 5

Possibilidade de realizar, por processo reversível, uma expansão adiabática entre a e b (item d) — análise e justificativa.
  • Para um processo adiabático reversível (processo isentrópico para gás ideal), vale a relação polytrópica (equivalente ao enunciado padrão): pV^{\gamma}=\text{const},onde \gamma=\dfrac{C_p}{C_V}>1 é a razão das capacidades caloríficas (para um gás ideal típico, \gamma é maior que 1; ex.: \gamma\approx 1{,}67 para monoatômico, \gamma\approx 1{,}4 para diatômico).
  • Se existisse uma adiabática reversível ligando a e b, deveríamos ter p_a V_a^{\gamma}=p_b V_b^{\gamma}.Dividindo ambos os lados por p_a V_a^{\gamma} obtém-se \frac{p_b}{p_a}=\left(\frac{V_a}{V_b}\right)^{\gamma}.
  • Porém, como a e b estão na mesma isotérmica, também vale \frac{p_b}{p_a}=\frac{V_a}{V_b}(porque p_aV_a=p_bV_b\Rightarrow p_b/p_a=V_a/V_b).
  • Igualando as duas expressões para p_b/p_a obtemos \left(\frac{V_a}{V_b}\right)^{\gamma}=\frac{V_a}{V_b}.Isso implica \left(\frac{V_a}{V_b}\right)^{\gamma-1}=1.Como \gamma-1\neq 0 para um gás ideal real ( \gamma>1), a última igualdade só pode ocorrer se \dfrac{V_a}{V_b}=1, i.e. V_a=V_b.
  • Conclusão: somente no caso trivial V_a=V_b (sem mudança de volume, logo sem expansão) as duas condições são compatíveis. Para uma expansão real com V_b>V_a não é possível que o mesmo par de estados a e b esteja simultaneamente sobre a mesma isotérmica e sobre a mesma adiabática reversível (exceto se \gamma=1 que não corresponde a um gás real, porque \gamma=1 significaria C_p=C_V, o que não ocorre).
  • Interpretação física curta: uma adiabática reversível não troca calor e portanto muda a temperatura do gás; já a isotérmica mantém a temperatura fixa. Para ir de a a b com T constante e V mudando é necessário trocar calor com o meio; logo não é adiabático (salvo o caso sem mudança de estado).

Passo 6

Resumo final (pré-resposta): já temos
  • Gráfico: hipérbole p(V)=\dfrac{p_aV_a}{V} passando por a e b, com seta de a para b.
  • \Delta U=0.
  • \Delta S=nR\ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right)=nR\ln\!\left(\dfrac{p_a}{p_b}\right).
  • Expansão adiabática reversível entre a e b não é possível salvo caso trivial V_a=V_b.

Resposta

(a) Curva isotérmica decrescente (hipérbole) dada por p(V)=\dfrac{p_aV_a}{V} passando por a=(V_a,p_a) e b=(V_b,p_b), com V_b>V_a e seta de a para b.\n
(b) \Delta U=0.\n
(c) \Delta S=nR\ln\!\left(\dfrac{V_b}{V_a}\right)=nR\ln\!\left(\dfrac{p_a}{p_b}\right).\n
(d) Não é possível realizar, de forma reversível e adiabática, a expansão a\to b quando V_b>V_a; compatibilizar isotérmica e adiabática exige V_b=V_a (caso trivial).

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