Considere uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal do ponto a para o ponto b. Dados,
as pressões e volumes em cada ponto.
a) Faça o grafico de uma transformação desse tipo no gráfico Pressão x Volume.
b) Qual a variação de energia interna ao longo de ab?
c) Qual a variação de entropia ao longo da isotérmica ab?
d) É possível realizar, através de um processo reversível, uma expansão adiabática tendo como ponto inicial
e ponto final
? Justifique sua resposta.
a) Faça o grafico de uma transformação desse tipo no gráfico Pressão x Volume.
b) Qual a variação de energia interna ao longo de ab?
c) Qual a variação de entropia ao longo da isotérmica ab?
d) É possível realizar, através de um processo reversível, uma expansão adiabática tendo como ponto inicial
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (resumindo de forma clara):
- Trata-se de uma expansão isotérmica reversível de um gás ideal do ponto
para o ponto . - Dados:
— pressões e volumes nos pontos e . - Implicitamente, por ser expansão, assumimos
e, numa isotérmica de gás ideal, então .
Perguntas pedidas:
a) Fazer o gráfico da transformação no plano Pressão versus Volume
.
b) Calcular a variação de energia interna ao longo de
.
c) Calcular a variação de entropia ao longo da isotérmica
.
d) Verificar se é possível, por um processo reversível, realizar uma expansão adiabática tendo o mesmo ponto inicial e ponto final
; justificar.
a) Fazer o gráfico da transformação no plano Pressão
b) Calcular a variação de energia interna
c) Calcular a variação de entropia
d) Verificar se é possível, por um processo reversível, realizar uma expansão adiabática tendo o mesmo ponto inicial
Passo 2
Gráfico da isotérmica (resolução do item a — o que desenhar e por quê).
- Para um gás ideal, a equação de estado é
, onde: -
é a pressão, -
é o volume, -
é a quantidade de matéria (mols), -
é a constante dos gases, -
é a temperatura absoluta.
-
- Numa isotérmica
é constante; portanto como função de é - Como
é constante nessa transformação, a curva é uma hipérbole decrescente no diagrama versus : quando cresce diminui. - Podemos escrever a hipérbole usando os pontos dados, porque
. Assim - No gráfico, marque o ponto
e o ponto . A curva contínua (reversível) passa por e por seguindo a hipérbole . Como é expansão, a seta é de para com aumentando e diminuindo.
Passo 3
Variação da energia interna
(item b) — teoria e aplicação passo a passo.
- Para um gás ideal monoatômico ou poliatômico, a energia interna é função somente da temperatura. Em geral:
onde é a capacidade calorífica molar a volume constante (constante para gás ideal idealmente modelado) e é o número de mols. - Portanto, a variação de energia interna entre dois estados é
- Numa transformação isotérmica temos
, logo - Conclusão: ao longo da isotérmica
a variação da energia interna é nula.
Passo 4
Cálculo da variação de entropia
(item c) — teoria, integral e interpretação.
- Definição termodinâmica para variação de entropia numa transformação reversível:
Aqui é o calor trocado diferencialmente ao longo do processo reversível. - Numa isotérmica
é constante, então a integral simplifica para - Para uma transformação reversível o trabalho realizado pelo gás é
Pelo primeiro princípio, para uma transformação qualquer (sinal convencional: trabalho feito sobre o sistema; se usarmos trabalho feito pelo gás, há sinal oposto). Vou usar a convenção termodinâmica usual com trabalho feito sobre o sistema. Para ficar claro e simples: quando o gás se expande, o trabalho feito pelo gás é e esse é o negativo do da forma . No entanto, para encontrar basta calcular o calor equivalente pela energia: em isoterma (passo anterior), então Para evitar confusão, vou calcular e depois . - Substituindo
na integral do trabalho feito pelo gás: Como é constante, a integral é imediata: - Então o calor trocado reversivelmente é
. Portanto: - Podemos também escrever
em função das pressões usando . Da relação segue Assim, uma forma alternativa conveniente é - Observação física: como
em uma expansão isotérmica, e portanto , ou seja, a entropia do gás aumenta na expansão reversível isotérmica.
Passo 5
Possibilidade de realizar, por processo reversível, uma expansão adiabática entre
e
(item d) — análise e justificativa.
- Para um processo adiabático reversível (processo isentrópico para gás ideal), vale a relação polytrópica (equivalente ao enunciado padrão):
onde é a razão das capacidades caloríficas (para um gás ideal típico, é maior que 1; ex.: para monoatômico, para diatômico). - Se existisse uma adiabática reversível ligando
e , deveríamos ter Dividindo ambos os lados por obtém-se - Porém, como
e estão na mesma isotérmica, também vale (porque ). - Igualando as duas expressões para
obtemos Isso implica Como para um gás ideal real ( ), a última igualdade só pode ocorrer se , i.e. . - Conclusão: somente no caso trivial
(sem mudança de volume, logo sem expansão) as duas condições são compatíveis. Para uma expansão real com não é possível que o mesmo par de estados e esteja simultaneamente sobre a mesma isotérmica e sobre a mesma adiabática reversível (exceto se que não corresponde a um gás real, porque significaria , o que não ocorre). - Interpretação física curta: uma adiabática reversível não troca calor e portanto muda a temperatura do gás; já a isotérmica mantém a temperatura fixa. Para ir de
a com constante e mudando é necessário trocar calor com o meio; logo não é adiabático (salvo o caso sem mudança de estado).
Passo 6
Resumo final (pré-resposta): já temos
- Gráfico: hipérbole
passando por e , com seta de para . -
. -
. - Expansão adiabática reversível entre
e não é possível salvo caso trivial .
Resposta
(a) Curva isotérmica decrescente (hipérbole) dada por
passando por
e
, com
e seta de
para
.\n
(b) .\n
(c) \n
(d) Não é possível realizar, de forma reversível e adiabática, a expansão quando
; compatibilizar isotérmica e adiabática exige
(caso trivial).
(b)
(c)
(d) Não é possível realizar, de forma reversível e adiabática, a expansão