Em uma câmara municipal, deve-se formar uma comissão de 8 vereadores de tal maneira que 3 sejam do partido
do
e 3 do
. Quantas comissões distintas podem ser formadas, sabendo-se que os partidos
e
têm 8 deputados cada e o partido
tem 5 deputados?
Passo 1
O enunciado pede: formar quantas comissões distintas de
vereadores com a composição fixa de
do partido
,
do partido
e
do partido
.\n
Informações dadas:\n
Informações dadas:\n
- O partido
tem vereadores disponíveis.\n - O partido
tem vereadores disponíveis.\n - O partido
tem vereadores disponíveis.\n - A composição exigida da comissão é
de , de e de .\n
Pergunta explícita: quantas comissões distintas (ou seja, conjuntos de pessoas, sem ordem) podem ser formadas obedecendo essa composição?
Passo 2
Raciocínio combinatório (ideia principal): para escolher a comissão fazemos escolhas independentes em cada partido — escolhemos um subconjunto de
de
, outro de
de
e outro de
de
. Como essas escolhas são independentes (uma escolha em
combinada com uma escolha em
e com uma em
formam uma comissão única), aplicamos a regra do produto: o número total de comissões é o produto do número de escolhas possíveis em cada partido.\n
Agora precisamos saber como contar "o número de maneiras de escolher pessoas dentre
" quando a ordem não importa. Essa é a combinação, dada por:
Agora precisamos saber como contar "o número de maneiras de escolher
onde
(fatorial) significa
. Essa fórmula conta quantos subconjuntos de tamanho
existem em um conjunto de
elementos.
Passo 3
Aplicando a fórmula para o partido
: precisamos escolher
dentre
, então
Fazendo a simplificação prática (cancelando
em
):
Explicação do cálculo passo a passo: em vez de calcular
inteiro, usamos só os três primeiros fatores do numerador porque
. Depois dividimos por
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para o partido
: escolher
dentre
,
Explicação simples:
vem de
e dividimos por
.
Passo 5
Para o partido
a situação é idêntica ao partido
(também tem
vereadores e precisamos escolher
), portanto
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto: o número total de comissões é
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 7
Realizando a multiplicação passo a passo:
então
Passo 8
Verificação final e comentário: tratamos cada vereador como indivíduo distinto e as comissões como conjuntos (a ordem dentro da comissão não importa), por isso o uso de combinações. Não houve risco de repetição ou contagem extra porque as escolhas são por subconjuntos disjuntos de cada partido e multiplicadas entre si.