Em uma câmara municipal, deve-se formar uma comissão de 8 vereadores de tal maneira que 3 sejam do partido A, 2 do B e 3 do C. Quantas comissões distintas podem ser formadas, sabendo-se que os partidos A e C têm 8 deputados cada e o partido B tem 5 deputados?

Passo 1

O enunciado pede: formar quantas comissões distintas de 8 vereadores com a composição fixa de 3 do partido A, 2 do partido B e 3 do partido C.\n
Informações dadas:\n
  • O partido A tem 8 vereadores disponíveis.\n
  • O partido B tem 5 vereadores disponíveis.\n
  • O partido C tem 8 vereadores disponíveis.\n
  • A composição exigida da comissão é 3 de A, 2 de B e 3 de C.\n
    Pergunta explícita: quantas comissões distintas (ou seja, conjuntos de pessoas, sem ordem) podem ser formadas obedecendo essa composição?

Passo 2

Raciocínio combinatório (ideia principal): para escolher a comissão fazemos escolhas independentes em cada partido — escolhemos um subconjunto de 3 de A, outro de 2 de B e outro de 3 de C. Como essas escolhas são independentes (uma escolha em A combinada com uma escolha em B e com uma em C formam uma comissão única), aplicamos a regra do produto: o número total de comissões é o produto do número de escolhas possíveis em cada partido.\n
Agora precisamos saber como contar "o número de maneiras de escolher k pessoas dentre n" quando a ordem não importa. Essa é a combinação, dada por:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) significa n!=n\cdot(n-1)\cdots 2\cdot1. Essa fórmula conta quantos subconjuntos de tamanho k existem em um conjunto de n elementos.

Passo 3

Aplicando a fórmula para o partido A: precisamos escolher 3 dentre 8, então
\binom{8}{3}=\frac{8!}{3!5!}.
Fazendo a simplificação prática (cancelando 5! em 8!):
\binom{8}{3}=\frac{8\cdot7\cdot6}{3\cdot2\cdot1}=\frac{336}{6}=56.
Explicação do cálculo passo a passo: em vez de calcular 8! inteiro, usamos só os três primeiros fatores do numerador porque 8!/(5!)=8\cdot7\cdot6. Depois dividimos por 3!=6.

Passo 4

Aplicando a fórmula para o partido B: escolher 2 dentre 5,
\binom{5}{2}=\frac{5!}{2!3!}=\frac{5\cdot4}{2\cdot1}=10.
Explicação simples: 5\cdot4 vem de 5!/(3!) e dividimos por 2!=2.

Passo 5

Para o partido C a situação é idêntica ao partido A (também tem 8 vereadores e precisamos escolher 3), portanto
\binom{8}{3}=56.

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto: o número total de comissões é
\binom{8}{3}\cdot\binom{5}{2}\cdot\binom{8}{3}.
Substituindo os valores que calculamos:
56\cdot10\cdot56.

Passo 7

Realizando a multiplicação passo a passo:
56\cdot56=56^2=3136,
então
3136\cdot10=31360.

Passo 8

Verificação final e comentário: tratamos cada vereador como indivíduo distinto e as comissões como conjuntos (a ordem dentro da comissão não importa), por isso o uso de combinações. Não houve risco de repetição ou contagem extra porque as escolhas são por subconjuntos disjuntos de cada partido e multiplicadas entre si.

Resposta

31360

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