Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?

Passo 1

O enunciado pergunta quantos subconjuntos de 4 elementos existem em um conjunto que tem 8 elementos.
Informações dadas: o conjunto original tem 8 elementos e queremos escolher subconjuntos (isto é, sem ordem) de tamanho 4. Não há mais informação adicional necessária.

Passo 2

Conceito-chave (explicação didática): quando escolhemos subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa — por exemplo, o subconjunto \{a,b,c,d\} é o mesmo que \{b,a,d,c\}. Por isso precisamos de uma contagem que considere combinações “sem ordem”. A quantidade de formas de escolher k elementos de um conjunto com n elementos é dada pelo número binomial \binom{n}{k}.

Passo 3

Derivação da fórmula (passo a passo, sem pular etapas): primeiro pense em arranjos ordenados (permutação) de k elementos distintos tirados de n. O número de maneiras ordenadas é
\frac{n!}{(n-k)!},
onde n! (lê-se "fatorial de n") é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1. Mas cada subconjunto de k elementos corresponde a k! arranjos diferentes (todas as permutações desses k elementos). Para eliminar a contagem repetida dividimos por k!. Assim obtemos a fórmula das combinações:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: aqui n=8 e k=4. Portanto
\binom{8}{4}=\frac{8!}{4!\,4!}.

Passo 5

Simplificação usando fatoração de 8!: observe que 8!=8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!. Substituindo na fração e cancelando 4! obtemos
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4!}{4!\cdot4!}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4!}.
E como 4!=4\cdot3\cdot2\cdot1, temos
\binom{8}{4}=\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.

Passo 6

Cálculo por cancelamento (para evitar multiplicações grandes):
Começamos com
\frac{8\cdot7\cdot6\cdot5}{4\cdot3\cdot2\cdot1}.
  • Cancele 4 com 8: 8/4=2. Ficamos com \frac{2\cdot7\cdot6\cdot5}{3\cdot2\cdot1}.
  • Cancele 3 com 6: 6/3=2. Ficamos com \frac{2\cdot7\cdot2\cdot5}{2\cdot1}.
  • Cancele um 2 do denominador com um 2 do numerador: isso remove esse fator 2. Restou \;7\cdot2\cdot5.

Passo 7

Multiplicando os fatores restantes obtemos
7\cdot2\cdot5=7\cdot10=70.
Portanto \binom{8}{4}=70.

Passo 8

Interpretação e exemplo extra (para fixar): isso significa que, num conjunto de 8 elementos, existem 70 subconjuntos distintos com exatamente 4 elementos. Como checagem rápida, em um caso menor, para n=4 e k=2 temos \binom{4}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2\cdot1}=6, e os subconjuntos de tamanho 2 de \{1,2,3,4\} são \{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},\{2,3\},\{2,4\},\{3,4\} — conferindo a ideia.

Resposta

70

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