Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?
Passo 1
O enunciado pergunta quantos subconjuntos de 4 elementos existem em um conjunto que tem 8 elementos.
Informações dadas: o conjunto original tem elementos e queremos escolher subconjuntos (isto é, sem ordem) de tamanho
. Não há mais informação adicional necessária.
Informações dadas: o conjunto original tem
Passo 2
Conceito-chave (explicação didática): quando escolhemos subconjuntos de um conjunto, a ordem dos elementos não importa — por exemplo, o subconjunto
é o mesmo que
. Por isso precisamos de uma contagem que considere combinações “sem ordem”. A quantidade de formas de escolher
elementos de um conjunto com
elementos é dada pelo número binomial
.
Passo 3
Derivação da fórmula (passo a passo, sem pular etapas): primeiro pense em arranjos ordenados (permutação) de
elementos distintos tirados de
. O número de maneiras ordenadas é
onde
(lê-se "fatorial de
") é o produto
. Mas cada subconjunto de
elementos corresponde a
arranjos diferentes (todas as permutações desses
elementos). Para eliminar a contagem repetida dividimos por
. Assim obtemos a fórmula das combinações:
Passo 4
Aplicando ao nosso caso: aqui
e
. Portanto
Passo 5
Simplificação usando fatoração de
: observe que
. Substituindo na fração e cancelando
obtemos
E como
, temos
Passo 6
Cálculo por cancelamento (para evitar multiplicações grandes):
Começamos com
Começamos com
- Cancele
com : . Ficamos com . - Cancele
com : . Ficamos com . - Cancele um
do denominador com um do numerador: isso remove esse fator . Restou .
Passo 7
Multiplicando os fatores restantes obtemos
Portanto
.
Passo 8
Interpretação e exemplo extra (para fixar): isso significa que, num conjunto de
elementos, existem
subconjuntos distintos com exatamente
elementos. Como checagem rápida, em um caso menor, para
e
temos
, e os subconjuntos de tamanho 2 de
são
— conferindo a ideia.