Uma câmara de vácuo é usada em experimentos em um laboratório. A base da câmara é formada por uma placa cilíndrica, cuja temperatura na face superior (de emissividade 0,25 ) é mantida permanentemente a 300 K por um sistema elétrico de aquecimento. No interior da câmara há canais de resfriamento por onde escoa nitrogênio líquido a temperatura de 77 K .
Determine:
(a) Qual a potência do sistema elétrico de aquecimento?
(b) Qual a vazão em massa de nitrogênio líquido? (Admita calor latente de vaporização do nitrogênio como 125 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} ).
(c) Para reduzir a quantidade de nitrogênio líquido é proposto o revestimento da base da câmara por uma fina camada de Alumínio cuja emissividade é de 0,09 . Quanto será economizado no consumo de nitrogênio em reais por ano de funcionamento ininterrupto do sistema se a modificação for implementada?
Dados: Custo do nitrogênio R \ 2,00 por litro, Densidade do Nitrogênio líquido: 800êí\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$.
OBS: O DISPOSITIVO EM QUESTÃO É ISOLADO EXTERNAMENTE, ou seja, não perde calor para o ar ambiente externo por nenhuma face lateral, superior ou inferior.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) a potência do sistema elétrico de aquecimento;
(b) a vazão em massa de nitrogênio líquido necessária (admita calor latente 125\\ \mathrm{kJ/kg});
(c) a economia anual em reais no consumo de nitrogênio se a face superior da placa for revestida por alumínio com emissividade 0{,}09 em vez da superfície original com emissividade 0{,}25.
Informações fornecidas e relevantes:
  • Temperatura da face superior da placa: T_s = 300\\ \mathrm{K}.
  • Temperatura do nitrogênio líquido (superfície fria): T_{LN2} = 77\\ \mathrm{K}.
  • Emissividade original da face superior: \varepsilon_1 = 0{,}25.
  • Emissividade proposta (alumínio): \varepsilon_2 = 0{,}09.
  • Calor latente do nitrogênio: L_v = 125\\ \mathrm{kJ/kg} = 125000\\ \mathrm{J/kg}.
  • Custo do nitrogênio: \$2{,}00 por litro.
  • Densidade do nitrogênio líquido: \rho = 800\\ \mathrm{kg/m^3}.
Dados físicos constantes que usarei:
  • Constante de Stefan–Boltzmann: \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8}\\ \mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}.
Observação importante sobre os dados faltantes:
  • O enunciado NÃO fornece a área A da face superior da placa (nem dimensões). Essa área é necessária para obter a potência total numérica \dot Q. Portanto a solução será dada por unidade de área (por metro quadrado, \mathrm{m^2}). Se for fornecida a área A, basta multiplicar os valores por A para obter os resultados totais. Vou calcular todos os passos por \mathrm{m^2} e também dar as fórmulas prontas para multiplicar por A.

Passo 2

Entendendo o mecanismo físico (aulas rápidas e práticas):
Como a câmara está em vácuo, a única forma de transferência de calor entre a placa (a 300\\ \mathrm{K}) e os canais resfriados a 77\\ \mathrm{K} é por radiação térmica. Para uma superfície com emissividade \varepsilon que “enxerga” (isto é, troca radiação com) um ambiente grande e frio que pode ser tratado como um corpo negro a T_{amb}, a densidade de fluxo radiante (potência por unidade de área) emitida líquida é dada por a versão simples da lei de Stefan–Boltzmann:
q'' = \varepsilon\,\sigma\left(T_s^{4}-T_{LN2}^{4}\right).
Explicando cada termo:
  • q'' é a potência radiativa líquida por unidade de área recebida/emitida (\mathrm{W/m^2}).
  • \varepsilon é a emissividade da superfície (número entre 0 e 1 que mede quão próximo o corpo é de um corpo negro).
  • \sigma é a constante de Stefan–Boltzmann \left(\mathrm{W\,m^{-2}\,K^{-4}}\right).
  • T_s e T_{LN2} são as temperaturas absolutas em kelvin.
Observação didática: essa fórmula vale diretamente quando a superfície troca radiação com um ambiente que se comporta como um corpo negro ou quando a geometria e emissividades podem ser simplificadas dessa maneira. No exercício isso é a hipótese razoável (canais e interior atuam como sumidouro frio).

Passo 3

Calculemos os termos numéricos por \mathrm{m^2}.
Primeiro calcular T_s^{4} e T_{LN2}^{4}:
T_s^{4} = 300^{4} = 8{,}100\,000\,000 = 8{,}1\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}
T_{LN2}^{4} = 77^{4} = 35\,153\,041 \approx 3{,}5153041\times10^{7}\\ \mathrm{K^{4}}
Diferença:
T_s^{4}-T_{LN2}^{4} = 8{,}100{,}000{,}000 - 35{,}153{,}041 = 8{,}064{,}846{,}959 \approx 8{,}06484696\times10^{9}\\ \mathrm{K^{4}}.
Agora o fluxo de corpo negro correspondente (para \varepsilon=1):
q''_{bb} = \sigma\left(T_s^{4}-T_{LN2}^{4}\right).
Usando \sigma = 5{,}670374419\times10^{-8},
q''_{bb} = 5{,}670374419\times10^{-8}\times 8{,}06484696\times10^{9} \approx 457{,}31\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Esse é o fluxo entre um corpo negro à 300\\ \mathrm{K} e outro à 77\\ \mathrm{K}. Para nossa superfície com emissividade \varepsilon a expressão é:
q'' = \varepsilon\,q''_{bb}.
Para a superfície original ( \varepsilon_1=0{,}25):
q''_1 = 0{,}25\times 457{,}31 \approx 114{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Portanto a potência fornecida pelo aquecedor por unidade de área é, por unidade de área:
\dot Q_1/A = q''_1 \approx 114{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Se a área da placa for A, então a potência total é \dot Q_1 = q''_1\cdot A.

Passo 4

Vazão em massa de nitrogênio necessária (conexão energia → massa):
Todo calor radiado \dot Q é absorvido pelo nitrogênio líquido e usado para vaporizá-lo (hipótese do enunciado). A relação entre potência térmica e vazão mássica é:
\dot m = \dfrac{\dot Q}{L_v}.
Por unidade de área:
\dot m'' = \dfrac{q''}{L_v}\quad(\mathrm{kg\,s^{-1}\,m^{-2}}).
Usando q''_1 = 114{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}} e L_v = 125000\\ \mathrm{J/kg}:
\dot m''_1 = \dfrac{114{,}33}{125000} \approx 9{,}1464\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,s^{-1}\,m^{-2}}.
Para obter vazão anual e volumes e custo:
  • Massa por ano (por \mathrm{m^2}):
m_{ano} = \dot m''_1 \times t_{ano},\quad t_{ano}=365\times24\times3600 = 31\,536\,000\\ \mathrm{s}.
m_{ano} \approx 9{,}1464\times10^{-4}\times 31\,536\,000 \approx 28\,835\\ \mathrm{kg/ano\\ per\\ m^{2}}.
  • Volume por ano (usar \rho=800\\ \mathrm{kg/m^3}):
V_{ano} = \dfrac{m_{ano}}{\rho} \approx \dfrac{28\,835}{800} \approx 36{,}044\\ \mathrm{m^{3}/ano\\ per\\ m^{2}}.
Como 1\\ \mathrm{m^3} = 1000\\ \mathrm{L},
V_{ano} \approx 36{,}044\times1000 \approx 36\,044\\ \mathrm{L/ano\\ per\\ m^{2}}.
  • Custo por ano (preço 2{,}00\\ \mathrm{R\$ / L}):
C_{ano,1} = 36\,044\\ \mathrm{L}\times 2{,}00\\ \mathrm{R\$/L} \approx 72\,088\\ \mathrm{R\$/ano\\ per\\ m^{2}}.

Passo 5

Revestimento de alumínio: recalcule para \varepsilon_2 = 0{,}09.
Fluxo por \mathrm{m^2}:
q''_2 = 0{,}09\times 457{,}31 \approx 41{,}16\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Vazão mássica por \mathrm{m^2}:
\dot m''_2 = \dfrac{41{,}16}{125000} \approx 3{,}2929\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,s^{-1}\,m^{-2}}.
Massa por ano:
m_{ano,2} = \dot m''_2 \times 31\,536\,000 \approx 10\,378\\ \mathrm{kg/ano\\ per\\ m^{2}}.
Volume por ano:
V_{ano,2} = \dfrac{10\,378}{800} \approx 12{,}973\\ \mathrm{m^{3}/ano\\ per\\ m^{2}} = 12\,973\\ \mathrm{L/ano\\ per\\ m^{2}}.
Custo por ano:
C_{ano,2} = 12\,973\\ \mathrm{L}\times 2{,}00\\ \mathrm{R\$/L} \approx 25\,946\\ \mathrm{R\$/ano\\ per\\ m^{2}}.
Economia anual (diferença):
\Delta C_{ano} = C_{ano,1}-C_{ano,2} \approx 72\,088 - 25\,946 \approx 46\,142\\ \mathrm{R\$/ano\\ per\\ m^{2}}.
Também útil mencionar economia em litros (por \mathrm{m^2} por ano):
\Delta V_{ano} \approx 36\,044 - 12\,973 \approx 23\,071\\ \mathrm{L/ano\\ per\\ m^{2}}.

Passo 6

Resumo prático de como aplicar os resultados ao caso real:
  • Se souber a área real A da face superior (em \mathrm{m^2}), multiplica-se cada resultado por A. Ex.: potência total \dot Q_1 = q''_1\cdot A; custo anual total C_{ano,1}^\text{total} = C_{ano,1}\cdot A; economia anual total \Delta C_{ano}^\text{total} = \Delta C_{ano}\cdot A.
  • Se quiser um número rápido sem a área, os valores acima são imediatamente aplicáveis por metro quadrado.
Força motivacional final: tá difícil, eu sei — mas a ideia central é simples: em vácuo só a radiação importa; diminuir a emissividade reduz fortemente a potência radiada e, portanto, o consumo de nitrogênio. Se me mandar a área da placa eu já calculo os valores totais cobrando zero juros e com calma!

Resposta

(a) Potência do aquecedor por unidade de área: \dot Q/A \approx 114{,}33\\ \mathrm{W/m^{2}}. (Potência total \dot Q = 114{,}33\cdot A.)
(b) Vazão mássica necessária por unidade de área: \dot m/A \approx 9{,}1464\times10^{-4}\\ \mathrm{kg\,s^{-1}\,m^{-2}}. (Equivalente a \approx 28\,835\\ \mathrm{kg/ano}, \approx 36\,044\\ \mathrm{L/ano} e custo \approx 72\,088\\ \mathrm{R\$/ano}, tudo por \mathrm{m^{2}}.)
(c) Com revestimento de alumínio ( \varepsilon=0{,}09): economia por \mathrm{m^{2}} por ano \Delta C_{ano} \approx 46\,142\\ \mathrm{R\$ / ano\\ per\\ m^{2}} (reduzindo consumo de \approx 23\,071\\ \mathrm{L/ano\\ per\\ m^{2}}).

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