Uma câmara de vácuo é usada em experimentos em um laboratório. A base da câmara é formada por uma placa cilíndrica, cuja temperatura na face superior (de emissividade 0,25 ) é mantida permanentemente a 300 K por um sistema elétrico de aquecimento. No interior da câmara há canais de resfriamento por onde escoa nitrogênio líquido a temperatura de 77 K .
Determine:
(a) Qual a potência do sistema elétrico de aquecimento?
(b) Qual a vazão em massa de nitrogênio líquido? (Admita calor latente de vaporização do nitrogênio como
).
(c) Para reduzir a quantidade de nitrogênio líquido é proposto o revestimento da base da câmara por uma fina camada de Alumínio cuja emissividade é de 0,09 . Quanto será economizado no consumo de nitrogênio em reais por ano de funcionamento ininterrupto do sistema se a modificação for implementada?
Dados: Custo do nitrogênio R
2,00
\mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3}$.
OBS: O DISPOSITIVO EM QUESTÃO É ISOLADO EXTERNAMENTE, ou seja, não perde calor para o ar ambiente externo por nenhuma face lateral, superior ou inferior.
Determine:
(a) Qual a potência do sistema elétrico de aquecimento?
(b) Qual a vazão em massa de nitrogênio líquido? (Admita calor latente de vaporização do nitrogênio como
(c) Para reduzir a quantidade de nitrogênio líquido é proposto o revestimento da base da câmara por uma fina camada de Alumínio cuja emissividade é de 0,09 . Quanto será economizado no consumo de nitrogênio em reais por ano de funcionamento ininterrupto do sistema se a modificação for implementada?
OBS: O DISPOSITIVO EM QUESTÃO É ISOLADO EXTERNAMENTE, ou seja, não perde calor para o ar ambiente externo por nenhuma face lateral, superior ou inferior.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) a potência do sistema elétrico de aquecimento;
(b) a vazão em massa de nitrogênio líquido necessária (admita calor latente );
(c) a economia anual em reais no consumo de nitrogênio se a face superior da placa for revestida por alumínio com emissividade em vez da superfície original com emissividade
.
(a) a potência do sistema elétrico de aquecimento;
(b) a vazão em massa de nitrogênio líquido necessária (admita calor latente
(c) a economia anual em reais no consumo de nitrogênio se a face superior da placa for revestida por alumínio com emissividade
Informações fornecidas e relevantes:
- Temperatura da face superior da placa:
. - Temperatura do nitrogênio líquido (superfície fria):
. - Emissividade original da face superior:
. - Emissividade proposta (alumínio):
. - Calor latente do nitrogênio:
. - Custo do nitrogênio:
por litro. - Densidade do nitrogênio líquido:
.
Dados físicos constantes que usarei:
- Constante de Stefan–Boltzmann:
.
Observação importante sobre os dados faltantes:
- O enunciado NÃO fornece a área
da face superior da placa (nem dimensões). Essa área é necessária para obter a potência total numérica . Portanto a solução será dada por unidade de área (por metro quadrado, ). Se for fornecida a área , basta multiplicar os valores por para obter os resultados totais. Vou calcular todos os passos por e também dar as fórmulas prontas para multiplicar por .
Passo 2
Entendendo o mecanismo físico (aulas rápidas e práticas):
Como a câmara está em vácuo, a única forma de transferência de calor entre a placa (a ) e os canais resfriados a
é por radiação térmica. Para uma superfície com emissividade
que “enxerga” (isto é, troca radiação com) um ambiente grande e frio que pode ser tratado como um corpo negro a
, a densidade de fluxo radiante (potência por unidade de área) emitida líquida é dada por a versão simples da lei de Stefan–Boltzmann:
Como a câmara está em vácuo, a única forma de transferência de calor entre a placa (a
Explicando cada termo:
-
é a potência radiativa líquida por unidade de área recebida/emitida . -
é a emissividade da superfície (número entre 0 e 1 que mede quão próximo o corpo é de um corpo negro). -
é a constante de Stefan–Boltzmann . -
e são as temperaturas absolutas em kelvin.
Observação didática: essa fórmula vale diretamente quando a superfície troca radiação com um ambiente que se comporta como um corpo negro ou quando a geometria e emissividades podem ser simplificadas dessa maneira. No exercício isso é a hipótese razoável (canais e interior atuam como sumidouro frio).
Passo 3
Calculemos os termos numéricos por
.
Primeiro calcular
e
:
Diferença:
Agora o fluxo de corpo negro correspondente (para
):
Usando
,
Esse é o fluxo entre um corpo negro à
e outro à
. Para nossa superfície com emissividade
a expressão é:
Para a superfície original (
):
Portanto a potência fornecida pelo aquecedor por unidade de área é, por unidade de área:
Se a área da placa for
, então a potência total é
.
Passo 4
Vazão em massa de nitrogênio necessária (conexão energia → massa):
Todo calor radiado é absorvido pelo nitrogênio líquido e usado para vaporizá-lo (hipótese do enunciado). A relação entre potência térmica e vazão mássica é:
Todo calor radiado
Por unidade de área:
Usando
e
:
Para obter vazão anual e volumes e custo:
- Massa por ano (por
):
- Volume por ano (usar
):
Como
,
- Custo por ano (preço
):
Passo 5
Revestimento de alumínio: recalcule para
.
Fluxo por
:
Vazão mássica por
:
Massa por ano:
Volume por ano:
Custo por ano:
Economia anual (diferença):
Também útil mencionar economia em litros (por
por ano):
Passo 6
Resumo prático de como aplicar os resultados ao caso real:
- Se souber a área real
da face superior (em ), multiplica-se cada resultado por . Ex.: potência total ; custo anual total ; economia anual total . - Se quiser um número rápido sem a área, os valores acima são imediatamente aplicáveis por metro quadrado.
Força motivacional final: tá difícil, eu sei — mas a ideia central é simples: em vácuo só a radiação importa; diminuir a emissividade reduz fortemente a potência radiada e, portanto, o consumo de nitrogênio. Se me mandar a área da placa eu já calculo os valores totais cobrando zero juros e com calma!
Resposta
(a) Potência do aquecedor por unidade de área:
. (Potência total
.)
(b) Vazão mássica necessária por unidade de área: . (Equivalente a
,
e custo
, tudo por
.)
(c) Com revestimento de alumínio ( ): economia por
por ano
(reduzindo consumo de
).
(b) Vazão mássica necessária por unidade de área:
(c) Com revestimento de alumínio (