No interior de uma estufa de alta temperatura os gases atingem
. A parede da estufa é de aço, tem 6 mm de espessura e fica em um espaço fechado onde há risco de incêndio, sendo necessário limitar uma temperatura da superfície em
. Para minimizar os custos de isolação, dois materiais serão usados: primeiro, isolante de alta temperatura (mais caro, com
, aplicado sobre o aço de
) e depois, magnésio (mais barato, com
) externamente. A temperatura máxima suportada pelo magnésio é
. Pede-se:
a) Especificar a espessura de cada material isolante (em cm);
b) Sabendo que o custo do isolante de alta temperatura, por cm de espessura colocado, é 2 vezes o do magnésio, calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse utilizado.
Dados:
Temperatura ambiente
a) Especificar a espessura de cada material isolante (em cm);
b) Sabendo que o custo do isolante de alta temperatura, por cm de espessura colocado, é 2 vezes o do magnésio, calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse utilizado.
Dados:
Temperatura ambiente
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo que vem do enunciado):
- Pede (a) especificar a espessura de cada material isolante (em cm) quando se usa, por ordem do interior para o exterior: aço (já dado, espessura fixa), depois isolante de alta temperatura (mais caro, condutividade
), e por fim magnésio (mais barato, ). A superfície externa deve ficar em . A temperatura máxima suportada pelo magnésio é (isto limita a temperatura na face quente do magnésio). - Pede (b) sabendo que o custo do isolante de alta temperatura por cm é
vezes o custo por cm do magnésio, calcular a elevação percentual do custo caso apenas o isolante de alta temperatura fosse usado (para obter a mesma condição de superfície externa ).
Dados numéricos fornecidos:
- Temperatura interior (gases):
. - Temperatura ambiente exterior:
. - Temperatura externa da superfície exigida:
. - Aço: espessura
, condutividade . - Isolante de alta temperatura:
(espessura a determinar). - Magnésio:
(espessura a determinar). - Coeficientes de convecção: interior
; exterior .
Observações importantes (do enunciado):
- A face externa do magnésio deve estar a
(restrição de segurança). - A face quente do magnésio (contato com o isolante interno) não pode passar de
.
Passo 2
Ideia física e fórmulas que vamos usar (passo didático e claro, sem resolver ainda):
- O fluxo de calor por área (densidade de fluxo) em regime permanente é o mesmo por todo o caminho e chamaremos de
(unidades ). - Convecção externa (do lado do ar) fornece o fluxo
Aqui
é o coeficiente de convecção externo,
é a temperatura da superfície externa (dada
), e
é a temperatura ambiente (
). Essa fórmula vem da lei de Newton de resfriamento.
- Para condução em uma camada plana homogênea (espessura
, condutividade ), a resistência térmica por unidade de área é
e a queda de temperatura atravessando essa camada é
.
- Para convecção na superfície interna entre gás e superfície do aço vale
onde
é a temperatura na face interna do aço.
- A soma das quedas de temperatura (convecção interna + condução em aço + condução nos isolantes + convecção externa) iguala a diferença
. Porém como conhecemos e usamos a convecção externa para obter diretamente e depois obtemos as espessuras necessárias através das resistências necessárias.
Passo 3
Calcular primeiro o fluxo térmico
usando a convecção externa (porque a superfície externa é fixada em
):
Explicação: isso significa que, por cada metro quadrado de parede, estão saindo
kcal por hora para o ambiente quando a superfície externa está a
.
Passo 4
Determinar a temperatura da face interna do aço
usando a convecção interna:
Substituindo valores:
Comentário: como
é grande, a queda de temperatura por convecção interna é pequena (~0,735 °C).
Passo 5
Calcular a queda de temperatura através da parede de aço (condução no aço) e obter a temperatura externa da face do aço
(ou seja, a face que toca o isolante interno).
A resistência do aço por unidade de área é
A queda de temperatura na lâmina de aço é
Portanto a temperatura na face externa do aço (contato com o isolante interno) é
Observação: praticamente a mesma temperatura do lado interno, por causa da elevada condutividade do aço e pequena espessura.
Passo 6
Agora pense no caminho térmico que resta: da face externa do aço (
) até a superfície externa do magnésio (fixada em
). Entre essas temperaturas estão as duas resistências dos isolantes (alta temperatura e magnésio). A soma das resistências desses dois isolantes deve produzir a queda
Calculando esse valor numérico:
Logo a resistência térmica combinada (dos dois isolantes) deve ser
Explicação: isto é
, onde
e
.
Passo 7
Usar a restrição do magnésio: a temperatura quente do magnésio (a face interna do magnésio, que chamamos
) não pode ultrapassar
. A queda de temperatura através do magnésio (da face quente do magnésio até a superfície externa que é
) vale
Para que
devemos ter
ou seja
Convertendo isso em espessura máxima do magnésio:
Em centímetros:
Comentário: como o magnésio é o material mais barato, para minimizar o custo vamos escolher a espessura do magnésio o mais alta possível, ou seja igual ao máximo permitido por sua temperatura máxima (usar todo o “potencial térmico” do magnésio antes que ele aqueça demais). Assim maximizamos o material barato e minimizamos o caro.
Passo 8
Com
fixo, a resistência restante que deve ser provida pelo isolante de alta temperatura é
A espessura do isolante de alta temperatura é então
Em centímetros:
Resumindo as espessuras em metros e centímetros:
-
(isolante de alta temperatura). -
(magnésio).
Verificação rápida da temperatura na interface magnésio/isolante:
como exigido.
Passo 9
Agora parte (b): calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse usado para obter a mesma condição de superfície externa
.
- Primeiro achar a espessura necessária se apenas o isolante de alta temperatura (sem magnésio) fosse usado. Nesse caso toda a resistência requerida
teria de ser provida por ele:
- Custos relativos: seja
o custo por cm de magnésio (unidade arbitrária). Então custo por cm do isolante de alta temperatura é .
Custo total do projeto misto (por unidade de área, proporcional a
):
Custo do caso somente isolante caro:
- Elevação percentual do custo ao trocar a solução mista pela solução só com isolante caro:
Substituindo valores:
Arredondando de forma prática, a elevação percentual de custo é cerca de
.
Resposta
(a) Isolante de alta temperatura:
(aprox.)
Magnésio:
(aprox.)
(b) Elevação percentual do custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse usado:
(aprox.)