No interior de uma estufa de alta temperatura os gases atingem 650^{\circ} \mathrm{C}. A parede da estufa é de aço, tem 6 mm de espessura e fica em um espaço fechado onde há risco de incêndio, sendo necessário limitar uma temperatura da superfície em 38^{\circ} \mathrm{C}. Para minimizar os custos de isolação, dois materiais serão usados: primeiro, isolante de alta temperatura (mais caro, com \mathrm{k}=0,0894 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm} \mathrm{oC}, aplicado sobre o aço de \mathrm{k}=37,24 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ) e depois, magnésio (mais barato, com \mathrm{k}=0,0670 \mathrm{kcal} / \mathrm{h} \mathrm{m}{ }^{\circ} \mathrm{C} ) externamente. A temperatura máxima suportada pelo magnésio é 300^{\circ} \mathrm{C}. Pede-se:
a) Especificar a espessura de cada material isolante (em cm);
b) Sabendo que o custo do isolante de alta temperatura, por cm de espessura colocado, é 2 vezes o do magnésio, calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse utilizado.
Dados:
Temperatura ambiente =20^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{h} 1=490 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm} 2{ }^{\circ} \mathrm{C}
\mathrm{h} 6=20 \mathrm{kcal} / \mathrm{hm} 2{ }^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (tudo que vem do enunciado):
  • Pede (a) especificar a espessura de cada material isolante (em cm) quando se usa, por ordem do interior para o exterior: aço (já dado, espessura fixa), depois isolante de alta temperatura (mais caro, condutividade \,k_1=0,0894\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C})), e por fim magnésio (mais barato, \,k_2=0,0670\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C})). A superfície externa deve ficar em 38^\circ\mathrm{C}. A temperatura máxima suportada pelo magnésio é 300^\circ\mathrm{C} (isto limita a temperatura na face quente do magnésio).
  • Pede (b) sabendo que o custo do isolante de alta temperatura por cm é 2 vezes o custo por cm do magnésio, calcular a elevação percentual do custo caso apenas o isolante de alta temperatura fosse usado (para obter a mesma condição de superfície externa 38^\circ\mathrm{C}).
Dados numéricos fornecidos:
  • Temperatura interior (gases): \,T_{\mathrm{g}}=650^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura ambiente exterior: \,T_{\infty}=20^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura externa da superfície exigida: \,T_{s,\mathrm{out}}=38^\circ\mathrm{C}.
  • Aço: espessura \,L_{\mathrm{aço}}=6\\ \mathrm{mm}=0{,}006\\ \mathrm{m}ç, condutividade \,k_{\mathrm{aço}}=37{,}24\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C})ç.
  • Isolante de alta temperatura: \,k_1=0{,}0894\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) (espessura a determinar).
  • Magnésio: \,k_2=0{,}0670\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}\,^\circ\mathrm{C}) (espessura a determinar).
  • Coeficientes de convecção: interior \,h_1=490\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}); exterior \,h_6=20\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2\,^\circ\mathrm{C}).
Observações importantes (do enunciado):
  • A face externa do magnésio deve estar a 38^\circ\mathrm{C} (restrição de segurança).
  • A face quente do magnésio (contato com o isolante interno) não pode passar de 300^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Ideia física e fórmulas que vamos usar (passo didático e claro, sem resolver ainda):
  • O fluxo de calor por área (densidade de fluxo) em regime permanente é o mesmo por todo o caminho e chamaremos de \,q (unidades \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2)).
  • Convecção externa (do lado do ar) fornece o fluxo
q = h_6\bigl(T_{s,\mathrm{out}}-T_{\infty}\bigr).
Aqui h_6 é o coeficiente de convecção externo, T_{s,\mathrm{out}} é a temperatura da superfície externa (dada 38^\circ\mathrm{C}), e T_{\infty} é a temperatura ambiente ( 20^\circ\mathrm{C}). Essa fórmula vem da lei de Newton de resfriamento.
  • Para condução em uma camada plana homogênea (espessura L, condutividade k), a resistência térmica por unidade de área é
R_{\text{cond}}=\frac{L}{k},
e a queda de temperatura atravessando essa camada é \Delta T = q R_{\text{cond}}.
  • Para convecção na superfície interna entre gás e superfície do aço vale
q = h_1\bigl(T_{\mathrm{g}} - T_{s,\mathrm{in}}\bigr),
onde T_{s,\mathrm{in}} é a temperatura na face interna do aço.
  • A soma das quedas de temperatura (convecção interna + condução em aço + condução nos isolantes + convecção externa) iguala a diferença T_{\mathrm{g}}-T_{\infty}. Porém como conhecemos T_{s,\mathrm{out}} e T_{\infty} usamos a convecção externa para obter q diretamente e depois obtemos as espessuras necessárias através das resistências necessárias.

Passo 3

Calcular primeiro o fluxo térmico \,q usando a convecção externa (porque a superfície externa é fixada em 38^\circ\mathrm{C}):
q = h_6\bigl(T_{s,\mathrm{out}}-T_{\infty}\bigr) = 20\cdot(38-20)=20\cdot 18 = 360\\ \mathrm{kcal}/(\mathrm{h}\,\mathrm{m}^2).
Explicação: isso significa que, por cada metro quadrado de parede, estão saindo 360 kcal por hora para o ambiente quando a superfície externa está a 38^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Determinar a temperatura da face interna do aço T_{s,\mathrm{in}} usando a convecção interna:
q = h_1\bigl(T_{\mathrm{g}} - T_{s,\mathrm{in}}\bigr) \quad\Rightarrow\quad T_{s,\mathrm{in}} = T_{\mathrm{g}} - \frac{q}{h_1}.
Substituindo valores:
T_{s,\mathrm{in}} = 650 - \frac{360}{490} =650 - 0{,}7346938776\approx 649{,}2653061224^\circ\mathrm{C}.
Comentário: como h_1 é grande, a queda de temperatura por convecção interna é pequena (~0,735 °C).

Passo 5

Calcular a queda de temperatura através da parede de aço (condução no aço) e obter a temperatura externa da face do aço T_{s,\mathrm{aço,ext}}ç (ou seja, a face que toca o isolante interno).
A resistência do aço por unidade de área é
R_{\mathrm{aço}}=\frac{L_{\mathrm{aço}}}{k_{\mathrm{aço}}} =\frac{0{,}006}{37{,}24}\\ \mathrm{h}\,\mathrm{m}^2/ \mathrm{kcal}\approx 0{,}000161142\\ \mathrm{h}\,\mathrm{m}^2/ \mathrm{kcal}.ççç
A queda de temperatura na lâmina de aço é
\Delta T_{\mathrm{aço}} = q R_{\mathrm{aço}} = 360\cdot 0{,}000161142\approx 0{,}0580111^\circ\mathrm{C}.çç
Portanto a temperatura na face externa do aço (contato com o isolante interno) é
T_{s,\mathrm{aço,ext}} = T_{s,\mathrm{in}} - \Delta T_{\mathrm{aço}} \approx 649{,}2653061224 - 0{,}0580111 \approx 649{,}207295^\circ\mathrm{C}.çç
Observação: praticamente a mesma temperatura do lado interno, por causa da elevada condutividade do aço e pequena espessura.

Passo 6

Agora pense no caminho térmico que resta: da face externa do aço ( T_{s,\mathrm{aço,ext}}ç) até a superfície externa do magnésio (fixada em 38^\circ\mathrm{C}). Entre essas temperaturas estão as duas resistências dos isolantes (alta temperatura e magnésio). A soma das resistências desses dois isolantes deve produzir a queda
\Delta T_{\text{isolantes}} = T_{s,\mathrm{aço,ext}} - T_{s,\mathrm{out}}.ç
Calculando esse valor numérico:
\Delta T_{\text{isolantes}} = 649{,}207295 - 38 = 611{,}207295^\circ\mathrm{C}.
Logo a resistência térmica combinada (dos dois isolantes) deve ser
R_{\text{total isolantes}} = \frac{\Delta T_{\text{isolantes}}}{q} = \frac{611{,}207295}{360} \approx 1{,}698909153\\ \mathrm{h}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{kcal}.
Explicação: isto é R_{ht}+R_{mag}, onde R_{ht}=L_1/k_1 e R_{mag}=L_2/k_2.

Passo 7

Usar a restrição do magnésio: a temperatura quente do magnésio (a face interna do magnésio, que chamamos T_{\text{int,mag}}) não pode ultrapassar 300^\circ\mathrm{C}. A queda de temperatura através do magnésio (da face quente do magnésio até a superfície externa que é 38^\circ\mathrm{C}) vale
T_{\text{int,mag}} - 38 = q R_{mag}.
Para que T_{\text{int,mag}}\le 300^\circ\mathrm{C} devemos ter
q R_{mag} \le 300 - 38 = 262,
ou seja
R_{mag} \le \frac{262}{q} = \frac{262}{360} = 0{,}7277777778\\ \mathrm{h}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{kcal}.
Convertendo isso em espessura máxima do magnésio:
L_{2,\max} = R_{mag,\max}\,k_2 = 0{,}7277777778\cdot 0{,}0670 \approx 0{,}0487611111\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
L_{2,\max} \approx 4{,}876111111\\ \mathrm{cm}.
Comentário: como o magnésio é o material mais barato, para minimizar o custo vamos escolher a espessura do magnésio o mais alta possível, ou seja igual ao máximo permitido por sua temperatura máxima (usar todo o “potencial térmico” do magnésio antes que ele aqueça demais). Assim maximizamos o material barato e minimizamos o caro.

Passo 8

Com R_{mag}=R_{mag,\max}=0{,}7277777778 fixo, a resistência restante que deve ser provida pelo isolante de alta temperatura é
R_{ht} = R_{\text{total isolantes}} - R_{mag} = 1{,}698909153 - 0{,}7277777778 = 0{,}9711313750\\ \mathrm{h}\,\mathrm{m}^2/\mathrm{kcal}.
A espessura do isolante de alta temperatura é então
L_1 = R_{ht}\,k_1 = 0{,}9711313750\cdot 0{,}0894 \approx 0{,}0868191449\\ \mathrm{m}.
Em centímetros:
L_1 \approx 8{,}6819144926\\ \mathrm{cm}.
Resumindo as espessuras em metros e centímetros:
  • \,L_1 \approx 0{,}0868191\\ \mathrm{m} = 8{,}6819\\ \mathrm{cm} (isolante de alta temperatura).
  • \,L_2 \approx 0{,}0487611\\ \mathrm{m} = 4{,}8761\\ \mathrm{cm} (magnésio).
Verificação rápida da temperatura na interface magnésio/isolante:
T_{\text{int,mag}} = 38 + q R_{mag} = 38 + 360\cdot 0{,}7277777778 = 38 + 262 = 300^\circ\mathrm{C},
como exigido.

Passo 9

Agora parte (b): calcular a elevação percentual de custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse usado para obter a mesma condição de superfície externa 38^\circ\mathrm{C}.
  • Primeiro achar a espessura necessária se apenas o isolante de alta temperatura (sem magnésio) fosse usado. Nesse caso toda a resistência requerida R_{\text{total isolantes}} teria de ser provida por ele:
L_{1,\text{somente}} = R_{\text{total isolantes}}\cdot k_1 = 1{,}698909153\cdot 0{,}0894 \approx 0{,}1518824783\\ \mathrm{m} = 15{,}1882478309\\ \mathrm{cm}.
  • Custos relativos: seja C o custo por cm de magnésio (unidade arbitrária). Então custo por cm do isolante de alta temperatura é 2C.
Custo total do projeto misto (por unidade de área, proporcional a C):
\text{Custo}_{\text{misto}} \propto 2\cdot L_1(\text{cm}) + 1\cdot L_2(\text{cm}) = 2\cdot 8{,}6819144926 + 4{,}8761111113 \approx 22{,}2399400964\\ \times C.
Custo do caso somente isolante caro:
\text{Custo}_{\text{só caro}} \propto 2\cdot L_{1,\text{somente}}(\text{cm}) = 2\cdot 15{,}1882478309 \approx 30{,}3764956518\\ \times C.ó
  • Elevação percentual do custo ao trocar a solução mista pela solução só com isolante caro:
\text{aumento \%} = \frac{\text{Custo}_{\text{só caro}} - \text{Custo}_{\text{misto}}}{\text{Custo}_{\text{misto}}}\times 100\%.ó
Substituindo valores:
\text{aumento \%} = \frac{30{,}3764956518 - 22{,}2399400964}{22{,}2399400964}\times 100\% \approx 0{,}365785\cdot 100\% \approx 36{,}5785\%.
Arredondando de forma prática, a elevação percentual de custo é cerca de 36{,}6\%.

Resposta

(a) Isolante de alta temperatura: 8{,}682\\ \mathrm{cm} (aprox.)
\quadMagnésio: 4{,}876\\ \mathrm{cm} (aprox.)
(b) Elevação percentual do custo se apenas o isolante de alta temperatura fosse usado: 36{,}6\% (aprox.)

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