A água é aquecida em um tubo isolado e de diâmetro constante por um aquecedor de resistência elétrica de 7 kW . Se a água entra no aquecedor permanentemente a 15^{\circ} \mathrm{C} e deixa-o a 70^{\circ} \mathrm{C}, determinar a vazão mássica de água. Use \mathrm{c}_{\text {págua }}=4,18 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}á Resposta: \mathbf{0 , 0 3 0 4 ~ k g} / \mathbf{s}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Potência elétrica do aquecedor: P = 7\\ \text{kW}.
    • Temperatura de entrada da água: T_{\text{in}} = 15^\circ\text{C}.
    • Temperatura de saída da água: T_{\text{out}} = 70^\circ\text{C}.
    • Calor específico da água: c_{\text{água}} = 4,18\\ \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}á.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a vazão mássica de água \dot{m} (em \text{kg}/\text{s}) que, ao atravessar o aquecedor isolado, sofre o aquecimento de 15^\circ\text{C} para 70^\circ\text{C} com a potência dada.

Passo 2

Entendimento físico e hipótese importante.
  • O tubo é isolado, então assumimos que não há perda de calor para o ambiente. Isso significa que toda a potência elétrica entregue pelo aquecedor é usada para aumentar a energia interna (temperatura) da água.
  • Em regime estacionário permanente, a energia por unidade de tempo fornecida pelo aquecedor (potência) passa para a água como fluxo de energia sensível associado à elevação de temperatura.
  • Assim, a equação de balanço energético simples é:
P = \dot{m}\,c_{\text{água}}\,\Delta T,á
onde \Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}}.

Passo 3

Explicação das grandezas na fórmula e unidades.
  • P é a potência (energia por unidade de tempo). Unidades: \text{kW} = \text{kJ}/\text{s}.
  • \dot{m} é a vazão mássica que queremos (unidade: \text{kg}/\text{s}).
  • c_{\text{água}}á é o calor específico da água: quantidade de energia necessária para elevar 1 kg de água em 1 K. Unidade dada: \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}.
  • \Delta T é a diferença de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, já que variação é equivalente): \Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}}. Unidade: \text{K}.
Observação de consistência de unidades: se P estiver em \text{kW} = \text{kJ}/\text{s} e c_{\text{água}}á em \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}, então \dot{m} ficará em \text{kg}/\text{s} desde que \Delta T esteja em \text{K} (ou ^\circ\text{C}).

Passo 4

Calcular a variação de temperatura e converter unidades se necessário.
  • Diferença de temperatura:
\Delta T = T_{\text{out}}-T_{\text{in}} = 70^\circ\text{C}-15^\circ\text{C}=55\\ \text{K}.
  • Converter potência para as mesmas unidades de energia por segundo usadas em c_{\text{água}}á:
P = 7\\ \text{kW} = 7\\ \text{kJ}/\text{s}.
(Portanto não é necessária outra conversão, pois c_{\text{água}}á está em \text{kJ}/\text{kg}\cdot\text{K}.)

Passo 5

Isolar \dot{m} na equação de balanço e preparar substituição numérica.
A equação
P = \dot{m}\,c_{\text{água}}\,\Delta Tá
isola-se para \dot{m}:
\dot{m} = \dfrac{P}{c_{\text{água}}\,\Delta T}.á
Agora substituir os valores conhecidos:
\dot{m} = \dfrac{7\\ \text{kJ}/\text{s}}{4,18\\ \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})\times 55\\ \text{K}}.

Passo 6

Fazer as contas passo a passo (sem pular etapas):
  • Calcular o produto do denominador:
c_{\text{água}}\,\Delta T = 4,18\times 55 = 4,18\times(50+5)=4,18\times50+4,18\times5=209+20,9=229,9.á
A unidade é \text{kJ}/\text{kg} (pois \text{kJ}/(\text{kg}\cdot\text{K})\times\text{K}=\text{kJ}/\text{kg}).
  • Agora a divisão:
\dot{m} = \dfrac{7}{229,9}\\ \text{kg}/\text{s}.
  • Avaliando numericamente:
\dot{m} \approx 0,03044\\ \text{kg}/\text{s}.

Passo 7

Interpretação e verificação rápida.
  • O valor faz sentido: com potência moderada ( 7\\ \text{kW}) e grande capacidade térmica da água, a vazão mássica é pequena (da ordem de dezenas de gramas por segundo), o que é coerente.
  • Arredondando adequadamente para quatro algarismos significativos obtemos o resultado solicitado pelo enunciado.

Resposta

0,0304\\ \text{kg}/\text{s}

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