Camarote tem um cofre que possui os números
,
e 9 no painel de abertura. O segredo dele é um número de 4 dígitos distintos que inicia com um número primo e termina com um número par. O número total de possíveis segredos de seu cofre é igual a:
(A) 224
(B) 672
(C) 896
(D) 1.064
(E) 1.152
(A) 224
(B) 672
(C) 896
(D) 1.064
(E) 1.152
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dados: o painel tem os dígitos
. - O segredo é um número de 4 dígitos distintos (isto é, sem repetição de dígitos).
- O primeiro dígito (o da esquerda) é um número primo de um só dígito.
- O quarto dígito (o da direita) é um número par (um dígito par).
- Pergunta: Quantos segredos possíveis existem, obedecendo às condições acima? (Escolhas dadas: (A) 224, (B) 672, (C) 896, (D) 1.064, (E) 1.152.)
Informações úteis que extraio do enunciado (sem resolver ainda):
- Os dígitos primos de um só dígito são
. - Os dígitos pares são
. - Como os dígitos devem ser distintos, o primeiro e o último não podem coincidir, nem podem coincidir com os dois dígitos do meio.
Passo 2
Explicando o método de contagem que vamos usar (regra do produto / permutações simples), de forma bem didática:
- Quando uma sequência é construída passo a passo e uma escolha não interfere nas contagens anteriores além de reduzir o conjunto disponível, usamos a regra do produto: o número total de sequências é o produto do número de escolhas em cada passo.
- Se, em algum ponto, precisamos escolher
posições distintas dentre dígitos disponíveis e a ordem importa, o número de maneiras é a permutação . Para isso vale porque para a primeira das duas posições temos opções e, depois de escolher uma, sobram opções para a segunda. - No nosso problema, depois de fixar o primeiro e o último dígitos, restarão
dígitos possíveis para preencher as duas posições do meio, e a ordem dessas duas posições importa. Logo, o número de maneiras de escolher os dois dígitos do meio é
Passo 3
Motivo para separar casos: o dígito primo
é par. Se o primeiro dígito escolhido for
, isso reduz o conjunto de opções possíveis para o dígito final (que deve ser par) porque não podemos repetir o
no final. Se o primeiro dígito for um primo ímpar (
), isso não afeta as cinco opções pares do final. Portanto, vamos contar em dois casos:
- Caso A: primeiro dígito é
. - Caso B: primeiro dígito é
ou .
Passo 4
Contagem do Caso A (primeiro dígito =
):
- Primeiro dígito: já fixado como
(uma única escolha). - Último dígito (par): não pode ser
(porque os dígitos têm de ser distintos). Então as opções para o último dígito são , ou seja, opções. - Dois dígitos do meio: após escolher o primeiro (
) e o último (um dentre os escolhidos), sobram dígitos disponíveis. Precisamos preencher duas posições distintas e a ordem importa, portanto temos maneiras para os dois dígitos do meio. - Pelo princípio multiplicativo, o total do Caso A é
Passo 5
Contagem do Caso B (primeiro dígito =
ou
):
- Primeiro dígito: temos
escolhas (escolher entre ). - Último dígito (par): agora o primeiro não é
, então todas as opções pares estão disponíveis para o último dígito. Logo escolhas. - Dois dígitos do meio: após fixar o primeiro e o último dígitos, novamente sobram
dígitos, e as duas posições do meio são preenchidas de forma ordenada, dando maneiras. - Pelo princípio multiplicativo, o total do Caso B é
Passo 6
Somando os dois casos para obter o total:
- Total = (Caso A) + (Caso B)
Portanto chegou-se ao número total de segredos possíveis.