Camarote tem um cofre que possui os números 0,1,2, 3,4,5,6,7,8 e 9 no painel de abertura. O segredo dele é um número de 4 dígitos distintos que inicia com um número primo e termina com um número par. O número total de possíveis segredos de seu cofre é igual a:
(A) 224
(B) 672
(C) 896
(D) 1.064
(E) 1.152

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dados: o painel tem os dígitos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  • O segredo é um número de 4 dígitos distintos (isto é, sem repetição de dígitos).
  • O primeiro dígito (o da esquerda) é um número primo de um só dígito.
  • O quarto dígito (o da direita) é um número par (um dígito par).
  • Pergunta: Quantos segredos possíveis existem, obedecendo às condições acima? (Escolhas dadas: (A) 224, (B) 672, (C) 896, (D) 1.064, (E) 1.152.)
Informações úteis que extraio do enunciado (sem resolver ainda):
  • Os dígitos primos de um só dígito são \{2,3,5,7\}.
  • Os dígitos pares são \{0,2,4,6,8\}.
  • Como os dígitos devem ser distintos, o primeiro e o último não podem coincidir, nem podem coincidir com os dois dígitos do meio.

Passo 2

Explicando o método de contagem que vamos usar (regra do produto / permutações simples), de forma bem didática:
  • Quando uma sequência é construída passo a passo e uma escolha não interfere nas contagens anteriores além de reduzir o conjunto disponível, usamos a regra do produto: o número total de sequências é o produto do número de escolhas em cada passo.
  • Se, em algum ponto, precisamos escolher k posições distintas dentre n dígitos disponíveis e a ordem importa, o número de maneiras é a permutação P(n,k). Para k=2 isso vale P(n,2)=n(n-1),porque para a primeira das duas posições temos n opções e, depois de escolher uma, sobram n-1 opções para a segunda.
  • No nosso problema, depois de fixar o primeiro e o último dígitos, restarão 10-2=8 dígitos possíveis para preencher as duas posições do meio, e a ordem dessas duas posições importa. Logo, o número de maneiras de escolher os dois dígitos do meio é P(8,2)=8\cdot 7=56.

Passo 3

Motivo para separar casos: o dígito primo \,2 é par. Se o primeiro dígito escolhido for \,2, isso reduz o conjunto de opções possíveis para o dígito final (que deve ser par) porque não podemos repetir o \,2 no final. Se o primeiro dígito for um primo ímpar ( 3,5,7), isso não afeta as cinco opções pares do final. Portanto, vamos contar em dois casos:
  • Caso A: primeiro dígito é \,2.
  • Caso B: primeiro dígito é \,3,5 ou \,7.

Passo 4

Contagem do Caso A (primeiro dígito = \,2):
  • Primeiro dígito: já fixado como \,2 (uma única escolha).
  • Último dígito (par): não pode ser \,2 (porque os dígitos têm de ser distintos). Então as opções para o último dígito são \{0,4,6,8\}, ou seja, 4 opções.
  • Dois dígitos do meio: após escolher o primeiro ( 2) e o último (um dentre os 4 escolhidos), sobram 10-2=8 dígitos disponíveis. Precisamos preencher duas posições distintas e a ordem importa, portanto temos P(8,2)=8\cdot 7=56maneiras para os dois dígitos do meio.
  • Pelo princípio multiplicativo, o total do Caso A é 1 \times 4 \times 56 = 224.

Passo 5

Contagem do Caso B (primeiro dígito = \,3,5 ou \,7):
  • Primeiro dígito: temos 3 escolhas (escolher entre \,3,5,7).
  • Último dígito (par): agora o primeiro não é \,2, então todas as 5 opções pares \{0,2,4,6,8\} estão disponíveis para o último dígito. Logo 5 escolhas.
  • Dois dígitos do meio: após fixar o primeiro e o último dígitos, novamente sobram 10-2=8 dígitos, e as duas posições do meio são preenchidas de forma ordenada, dando P(8,2)=8\cdot 7=56maneiras.
  • Pelo princípio multiplicativo, o total do Caso B é 3 \times 5 \times 56 = 3 \times 280 = 840.

Passo 6

Somando os dois casos para obter o total:
  • Total = (Caso A) + (Caso B) 224 + 840 = 1064.
Portanto chegou-se ao número total de segredos possíveis.

Resposta

\,1064\\ \text{(D)}

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