Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
y=-\operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a função y=-\operatorname{sen} x é periódica e, se for, encontrar o período fundamental.
Informações dadas: a única informação é a expressão da função, que vou reescrever em notação usual de LaTeX como y=-\sin x.

Passo 2

Definição de função periódica (aula rápida): uma função f é periódica se existir um número T>0 tal que
f(x+T)=f(x)\quad\text{para todo }x.
Qualquer T>0 que satisfaça isso é chamado de período; o menor T>0 que funciona é o período fundamental. Vou usar essa definição para testar y=-\sin x.

Passo 3

Aplicando a definição à nossa função: precisamos de T>0 tal que
-\sin(x+T) = -\sin x\quad\text{para todo }x.
Multiplicando os dois lados por -1 (isso é válido para todas as x), obtemos a condição equivalente
\sin(x+T)=\sin x\quad\text{para todo }x.

Passo 4

Agora uso uma identidade trigonométrica útil: para quaisquer a,b,
\sin a - \sin b = 2\cos\!\left(\frac{a+b}{2}\right)\sin\!\left(\frac{a-b}{2}\right).
Aplicando com a=x+T e b=x temos
\sin(x+T)-\sin x = 2\cos\!\left(x+\frac{T}{2}\right)\sin\!\left(\frac{T}{2}\right).
Queremos que isso seja zero para todo x. A expressão é produto de duas partes: \cos\!\left(x+\tfrac{T}{2}\right) e \sin\!\left(\tfrac{T}{2}\right). A primeira depende de x e não pode ser identicamente zero para todos os x (pois o cosseno varia com x). Logo, a única possibilidade para o produto ser zero para todo x é
\sin\!\left(\frac{T}{2}\right)=0.

Passo 5

Resolver \sin\!\left(\frac{T}{2}\right)=0
\frac{T}{2}=k\pi\quad\text{com }k\in\mathbb{Z},
ou seja
T=2k\pi.
Como queremos T>0, tomamos k\in\mathbb{N}. Os períodos possíveis são T=2\pi,4\pi,6\pi,\dots. O menor período positivo (o período fundamental) é portanto T=2\pi.

Passo 6

Verificação rápida contra uma possível confusão: alguém poderia pensar que T=\pi funciona porque \sin(x+\pi)=-\sin x. Mas nesse caso
-\sin(x+\pi) = -(-\sin x)=\sin x \neq -\sin x
em geral, então \pi não é período da função y=-\sin x. Isso confirma que 2\pi é mesmo o menor período positivo.

Resposta

A função é periódica; período fundamental \;2\pi.

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