Determine se a função dada é periódica. Se for, encontre o período fundamental:
y=-\operatorname{sen} x
y=-\operatorname{sen} x
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a função
é periódica e, se for, encontrar o período fundamental.
Informações dadas: a única informação é a expressão da função, que vou reescrever em notação usual de LaTeX como .
Informações dadas: a única informação é a expressão da função, que vou reescrever em notação usual de LaTeX como
Passo 2
Definição de função periódica (aula rápida): uma função
é periódica se existir um número
tal que
Qualquer
que satisfaça isso é chamado de período; o menor
que funciona é o período fundamental. Vou usar essa definição para testar
.
Passo 3
Aplicando a definição à nossa função: precisamos de
tal que
Multiplicando os dois lados por
(isso é válido para todas as
), obtemos a condição equivalente
Passo 4
Agora uso uma identidade trigonométrica útil: para quaisquer
,
Aplicando com
e
temos
Queremos que isso seja zero para todo
. A expressão é produto de duas partes:
e
. A primeira depende de
e não pode ser identicamente zero para todos os
(pois o cosseno varia com
). Logo, a única possibilidade para o produto ser zero para todo
é
Passo 5
Resolver
dá
ou seja
Como queremos
, tomamos
. Os períodos possíveis são
. O menor período positivo (o período fundamental) é portanto
.
Passo 6
Verificação rápida contra uma possível confusão: alguém poderia pensar que
funciona porque
. Mas nesse caso
em geral, então
não é período da função
. Isso confirma que
é mesmo o menor período positivo.
Resposta
A função é periódica; período fundamental
.