Questão 6 (1 ponto)

Seja g(x)=\cos x. Mostre que \frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right)
Bom estudo!!

Passo 1

O enunciado dá a função g(x)=\cos x e pede para mostrar a identidade
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right).
Informações relevantes:
g(x+h)-g(x)=\cos(x+h)-\cos x.
O objetivo é manipular essa diferença usando uma identidade trigonométrica e depois dividir por h. Não faremos suposições implícitas: cada passo será mostrado.

Passo 2

Vou usar a fórmula de soma de ângulos para o cosseno. Essa fórmula é
\cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} b.
Uma maneira simples de ver essa fórmula é pensar na rotação no plano: o vetor que corresponde ao ângulo a na circunferência unitária tem coordenadas (\cos a,\operatorname{sen} a). Rotacionar esse vetor por um ângulo b corresponde a multiplicá‑lo pela matriz de rotação
\begin{pmatrix}\cos b & -\operatorname{sen} b\\[4pt]\operatorname{sen} b & \cos b\end{pmatrix}.
Multiplicando essa matriz pelo vetor \begin{pmatrix}\cos a\\[4pt]\operatorname{sen} a\end{pmatrix} obtemos
\begin{pmatrix}\cos b & -\operatorname{sen} b\\[4pt]\operatorname{sen} b & \cos b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}\cos a\\[4pt]\operatorname{sen} a\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos b\,\cos a-\operatorname{sen} b\,\operatorname{sen} a\\[4pt]\operatorname{sen} b\,\cos a+\cos b\,\operatorname{sen} a\end{pmatrix}.
As coordenadas desse novo vetor são (\cos(a+b),\operatorname{sen}(a+b)), daí
\cos(a+b)=\cos a\,\cos b-\operatorname{sen} a\,\operatorname{sen} b,
como desejado.]

Passo 3

Aplicando a fórmula com a=x e b=h obtemos
\cos(x+h)=\cos x\,\cos h-\operatorname{sen} x\,\operatorname{sen} h.
Substituímos isso na diferença do numerador:
\cos(x+h)-\cos x=\big(\cos x\,\cos h-\operatorname{sen} x\,\operatorname{sen} h\big)-\cos x.

Passo 4

Agrupando termos semelhantes no lado direito, fatoramos \cos x:
\big(\cos x\,\cos h-\operatorname{sen} x\,\operatorname{sen} h\big)-\cos x =\cos x(\cos h-1)-\operatorname{sen} x\,\operatorname{sen} h.
Portanto
g(x+h)-g(x)=\cos x(\cos h-1)-\operatorname{sen} x\,\operatorname{sen} h.

Passo 5

Agora dividimos ambos os lados por h. Como h é o denominador do quociente pedido, obtemos
\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right).
Isso é exatamente a identidade que tínhamos que mostrar.

Resposta

\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=\cos x\left(\frac{\cos h-1}{h}\right)-\operatorname{sen} x\left(\frac{\operatorname{sen} h}{h}\right)

Exercícios relacionados