Questão 6 (1 ponto)
Seja
. Mostre que
Bom estudo!!
Bom estudo!!
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar a identidade
Informações relevantes:
O objetivo é manipular essa diferença usando uma identidade trigonométrica e depois dividir por
. Não faremos suposições implícitas: cada passo será mostrado.
Passo 2
Vou usar a fórmula de soma de ângulos para o cosseno. Essa fórmula é
Uma maneira simples de ver essa fórmula é pensar na rotação no plano: o vetor que corresponde ao ângulo
na circunferência unitária tem coordenadas
. Rotacionar esse vetor por um ângulo
corresponde a multiplicá‑lo pela matriz de rotação
Multiplicando essa matriz pelo vetor
obtemos
As coordenadas desse novo vetor são
, daí
como desejado.]
Passo 3
Aplicando a fórmula com
e
obtemos
Substituímos isso na diferença do numerador:
Passo 4
Agrupando termos semelhantes no lado direito, fatoramos
:
Portanto
Passo 5
Agora dividimos ambos os lados por
. Como
é o denominador do quociente pedido, obtemos
Isso é exatamente a identidade que tínhamos que mostrar.