Quando a empresa “Pastéis S.A.” admite candidatos em sua rede, em geral, eles passam por horas de treinamento antes de entrarem em serviço. Alguns dos empregados que passaram por treinamento foram estudados, analisando-se a relação entre a quantidade de pastéis produzidos ( Y ) por hora e a quantidade de horas de treinamento à qual os funcionários foram submetidos (X), a empresa obteve:
X 2 6 8 8 12 16 20 20 22 26
Y 58 105 88 118 117 137 157 169 149 202
a) Obter o coeficiente de correlação linear;

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=10 empregados com pares (X,Y), onde X é a quantidade de horas de treinamento e Y é a quantidade de pastéis produzidos por hora. A tabela fornecida é:
\begin{array}{c|cccccccccc} X & 2 & 6 & 8 & 8 & 12 & 16 & 20 & 20 & 22 & 26\\hline Y & 58 & 105 & 88 & 118 & 117 & 137 & 157 & 169 & 149 & 202 \end{array}
O que a parte (a) pede: calcular o coeficiente de correlação linear (coeficiente de Pearson) entre X e Y.
Informações relevantes dadas:
\begin{aligned} &\text{Pares }(X_i,Y_i),\quad i=1,\dots,10;\\\ &\text{Devo calcular o coeficiente de correlação linear }r. \end{aligned}çã

Passo 2

Vou usar a fórmula do coeficiente de correlação linear de Pearson. Primeiro explico a fórmula e o que cada símbolo significa.
A fórmula é
r=\frac{n\sum XY - \left(\sum X\right)\left(\sum Y\right)} {\sqrt{\left(n\sum X^{2}-\left(\sum X\right)^{2}\right)\left(n\sum Y^{2}-\left(\sum Y\right)^{2}\right)}},
onde
  • n é o número de observações (aqui n=10);
  • \sum X é a soma de todas as observações de X;
  • \sum Y é a soma de todas as observações de Y;
  • \sum X^{2} é a soma dos quadrados de X;
  • \sum Y^{2} é a soma dos quadrados de Y;
  • \sum XY é a soma dos produtos X_i Y_i.
Intenção: calcular cada uma dessas somas e substituir na fórmula. O numerador mede a covariância (em escala) e o denominador normaliza para obter um valor entre -1 e 1. Valores próximos de 1 indicam forte correlação positiva, próximos de -1 forte correlação negativa e próximos de 0 pouca correlação linear.

Passo 3

Calculo passo a passo das somas (faço cada produto/quadrado explicitamente para ficar claro).
Primeiro as somas simples:
n=10.
\sum X = 2+6+8+8+12+16+20+20+22+26 = 140.
\sum Y = 58+105+88+118+117+137+157+169+149+202 = 1300.
Agora as somas dos quadrados:
\begin{aligned} \sum X^{2} &= 2^{2}+6^{2}+8^{2}+8^{2}+12^{2}+16^{2}+20^{2}+20^{2}+22^{2}+26^{2}\\\ &=4+36+64+64+144+256+400+400+484+676 = 2528. \end{aligned}
\begin{aligned} \sum Y^{2} &= 58^{2}+105^{2}+88^{2}+118^{2}+117^{2}+137^{2}+157^{2}+169^{2}+149^{2}+202^{2}\\\ &=3364+11025+7744+13924+13689+18769+24649+28561+22201+40804 = 184730. \end{aligned}
E a soma dos produtos XY:
\begin{aligned} \sum XY &= 2\cdot58 + 6\cdot105 + 8\cdot88 + 8\cdot118 + 12\cdot117\\\ &\quad +16\cdot137 +20\cdot157 +20\cdot169 +22\cdot149 +26\cdot202\\\ &=116+630+704+944+1404+2192+3140+3380+3278+5252 = 21040. \end{aligned}
Resumo numérico:
n=10,\quad \sum X=140,\quad \sum Y=1300,\quad \sum X^{2}=2528,\quad \sum Y^{2}=184730,\quad \sum XY=21040.

Passo 4

Calculo o numerador da fórmula:
\text{num}=n\sum XY - (\sum X)(\sum Y)=10\cdot21040 - 140\cdot1300.
10\cdot21040 = 210400,\qquad 140\cdot1300=182000,
\text{num}=210400-182000=28400.

Passo 5

Calculo as duas parcelas do denominador (cada uma dentro da raiz):
Primeira parcela:
A = n\sum X^{2} - (\sum X)^{2} = 10\cdot2528 - 140^{2}.
10\cdot2528=25280,\qquad 140^{2}=19600,
A=25280-19600=5680.
Segunda parcela:
B = n\sum Y^{2} - (\sum Y)^{2} = 10\cdot184730 - 1300^{2}.
10\cdot184730=1847300,\qquad 1300^{2}=1690000,
B=1847300-1690000=157300.

Passo 6

Calculo o denominador completo e a raiz:
Produto das parcelas:
A\cdot B = 5680 \times 157300 = 893464000.
Denominador é a raiz quadrada desse produto:
\text{den}=\sqrt{A\cdot B}=\sqrt{893464000}\approx 29890{,}868\quad\text{(aproximação numérica)}.çãé
Obs.: mostrei o produto e dei uma aproximação da raiz; para provas sem calculadora costuma-se estimar com métodos manuais, mas aqui fiz o cálculo numérico para maior precisão.

Passo 7

Agora o coeficiente:
r=\frac{\text{num}}{\text{den}}=\frac{28400}{29890{,}868}\approx 0{,}950.
Arredondando a três casas decimais obtemos r\approx 0{,}950.

Passo 8

Interpretação breve e motivadora: r\approx 0{,}950 indica uma correlação linear positiva muito forte entre horas de treinamento X e produção Y. Ou seja, em média, mais horas de treinamento estão associadas a maior produção de pastéis por hora. Bom trabalho por encarar essa questão — está indo bem!

Resposta

r\approx 0{,}950

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