Escreva a função
na forma:
e calcule a integral:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Escrever
na forma . - Calcular a integral
.
Informações relevantes que temos:
- O denominador é o polinômio
. - O intervalo de integração é
.
Passo 2
Primeiro vamos fatorar o denominador para ver a decomposição em frações parciais:
Como o grau do numerador (
) é menor que o do denominador (
), é legítimo procurar uma decomposição da forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a igualdade de polinômios
Isto significa que para todo
vale
.
Passo 3
Para encontrar
e
usamos dois métodos possíveis; aqui uso o método do valor conveniente (cover-up), que consiste em escolher valores de
que anulam um dos fatores:
- Tomando
na identidade :
- Tomando
:
Portanto a decomposição é
Passo 4
Agora vamos integrar. Primeiro lembro a fórmula básica que usarei: a primitiv a de
é
, porque a derivada de
é
. O valor absoluto é importante quando
muda de sinal; aqui o intervalo de integração
tem
e
, então usaremos valores absolutos ao avaliar os logaritmos.
Usando linearidade da integral e a decomposição encontrada:
As primitivas são
Somando:
Passo 5
Avalio a primitiva nos extremos
e
:
Calcule
:
Calcule
:
Portanto a integral é
Simplificando usando propriedades dos logaritmos: