Escreva a função f(x)=\frac{1}{x^{2}-5 x+6} na forma:
f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}
e calcule a integral:
\int_{0}^{1} f(x) d x

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=\frac{1}{x^{2}-5x+6} e pede duas coisas:
  • Escrever f(x) na forma \displaystyle f(x)=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
  • Calcular a integral \displaystyle \int_{0}^{1} f(x)\,dx.
Informações relevantes que temos:
  • O denominador é o polinômio \displaystyle x^{2}-5x+6.
  • O intervalo de integração é [0,1].

Passo 2

Primeiro vamos fatorar o denominador para ver a decomposição em frações parciais:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).
Como o grau do numerador ( 0) é menor que o do denominador ( 2), é legítimo procurar uma decomposição da forma
\frac{1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando ambos os lados por (x-2)(x-3) obtemos a igualdade de polinômios
1 = A(x-3)+B(x-2).
Isto significa que para todo x vale \displaystyle 1 = A(x-3)+B(x-2).

Passo 3

Para encontrar A e B usamos dois métodos possíveis; aqui uso o método do valor conveniente (cover-up), que consiste em escolher valores de x que anulam um dos fatores:
  • Tomando x=2 na identidade \displaystyle 1 = A(x-3)+B(x-2):
1 = A(2-3)+B(0)\quad\Rightarrow\quad 1 = A(-1)\quad\Rightarrow\quad A=-1.
  • Tomando x=3:
1 = A(0)+B(3-2)\quad\Rightarrow\quad 1 = B(1)\quad\Rightarrow\quad B=1.
Portanto a decomposição é
\frac{1}{x^{2}-5x+6}=\frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}.

Passo 4

Agora vamos integrar. Primeiro lembro a fórmula básica que usarei: a primitiv a de \displaystyle \frac{1}{x-a} é \displaystyle \ln|x-a|+C, porque a derivada de \ln|x-a| é \displaystyle \frac{1}{x-a}. O valor absoluto é importante quando x-a muda de sinal; aqui o intervalo de integração [0,1] tem x-2<0 e x-3<0, então usaremos valores absolutos ao avaliar os logaritmos.
Usando linearidade da integral e a decomposição encontrada:
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = \int_{0}^{1}\left(\frac{-1}{x-2}+\frac{1}{x-3}\right)dx = \int_{0}^{1}\frac{-1}{x-2}dx+\int_{0}^{1}\frac{1}{x-3}dx.
As primitivas são
\int \frac{-1}{x-2}dx = -\ln|x-2| + C,\qquad \int \frac{1}{x-3}dx = \ln|x-3| + C.
Somando:
\text{primitiva de }f(x)\\ =\\\ -\ln|x-2|+\ln|x-3| = \ln\!\bigg(\frac{|x-3|}{|x-2|}\bigg).

Passo 5

Avalio a primitiva nos extremos x=1 e x=0:
F(x)=\ln\!\bigg(\frac{|x-3|}{|x-2|}\bigg).
Calcule F(1):
F(1)=\ln\!\bigg(\frac{|1-3|}{|1-2|}\bigg)=\ln\!\bigg(\frac{2}{1}\bigg)=\ln 2.
Calcule F(0):
F(0)=\ln\!\bigg(\frac{|0-3|}{|0-2|}\bigg)=\ln\!\bigg(\frac{3}{2}\bigg)=\ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Portanto a integral é
\int_{0}^{1} f(x)\,dx = F(1)-F(0)=\ln 2 - \ln\!\left(\frac{3}{2}\right).
Simplificando usando propriedades dos logaritmos:
\ln 2 - \ln\!\left(\frac{3}{2}\right)=\ln\!\left(\frac{2}{3/2}\right)=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{x^{2}-5x+6}=-\frac{1}{x-2}+\frac{1}{x-3}
\displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}-5x+6}\,dx=\ln\!\left(\frac{4}{3}\right)

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