Determine o maior domínio que inclua o valor
para o qual a função abaixo está bem definida:
Passo 1
O enunciado pede: determinar o maior domínio que contém o valor
para o qual a função
está bem definida. Vamos listar as informações relevantes que temos:
- A função interna é
. Para que exista, precisamos de no seu domínio. - A função externa é
com . Para que exista, é necessário que esteja no domínio de . - O enunciado exige o maior domínio (conjunto de
) que inclui .
Passo 2
Domínio da função interna
:
- Por definição,
está definida apenas para
Além disso, a imagem (valor) de
quando
é o intervalo
Isto significa que para qualquer
o valor
está entre
e
.
Passo 3
Domínio da função externa
:
- Por definição,
está definida apenas para
No nosso caso,
. Portanto, para que a composição exista é preciso que
Passo 4
Resolver a condição
:
- Escrevemos a desigualdade composta
- Observação sobre monotonicidade: a função
é estritamente crescente em seu domínio e seus valores ficam no intervalo . O número (radianos) pertence a , portanto podemos aplicar a função (que é crescente em ) em toda a desigualdade sem inverter sinais. - Aplicando
em cada membro obtemos
Passo 5
Simplificar os extremos e interpretar:
- Usando que
é função ímpar, . Assim o intervalo fica
- Note que
, portanto esse intervalo está contido em (então a condição de existência de está satisfeita automaticamente dentro desse intervalo).
Passo 6
Verificação dos extremos (para ver se são incluídos):
- Em
temos (porque está no intervalo principal de ), e . Portanto é permitido. - Em
temos e . Portanto também é permitido. - Logo os extremos são incluídos e o maior domínio (que contém
) é o intervalo fechado encontrado.