Determine o maior domínio que inclua o valor x=0 para o qual a função abaixo está bem definida:
f(x)=\operatorname{arccos} (\arcsin x)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o maior domínio que contém o valor x=0 para o qual a função
f(x)=\operatorname{arccos}(\arcsin x)
está bem definida. Vamos listar as informações relevantes que temos:
  • A função interna é \arcsin x. Para que \arcsin x exista, precisamos de x no seu domínio.
  • A função externa é \operatorname{arccos} y com y=\arcsin x. Para que \operatorname{arccos}(y) exista, é necessário que y esteja no domínio de \operatorname{arccos}.
  • O enunciado exige o maior domínio (conjunto de x) que inclui 0.

Passo 2

Domínio da função interna \arcsin x:
  • Por definição, \arcsin x está definida apenas para
x\in[-1,1].
Além disso, a imagem (valor) de \arcsin x quando x\in[-1,1] é o intervalo
\arcsin([-1,1])=[-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}].
Isto significa que para qualquer x\in[-1,1] o valor \arcsin x está entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}.

Passo 3

Domínio da função externa \operatorname{arccos} y:
  • Por definição, \operatorname{arccos} y está definida apenas para
y\in[-1,1].
No nosso caso, y=\arcsin x. Portanto, para que a composição exista é preciso que
\arcsin x\in[-1,1].

Passo 4

Resolver a condição \arcsin x\in[-1,1]:
  • Escrevemos a desigualdade composta
-1\le \arcsin x\le 1.
  • Observação sobre monotonicidade: a função \arcsin é estritamente crescente em seu domínio [-1,1] e seus valores ficam no intervalo [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]. O número 1 (radianos) pertence a (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}), portanto podemos aplicar a função \sin (que é crescente em [-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}]) em toda a desigualdade sem inverter sinais.
  • Aplicando \sin em cada membro obtemos
\sin(-1)\le x\le \sin(1).

Passo 5

Simplificar os extremos e interpretar:
  • Usando que \sin é função ímpar, \sin(-1)=-\sin(1). Assim o intervalo fica
x\in[-\sin(1),\;\sin(1)].
  • Note que \sin(1)\approx 0,84147, portanto esse intervalo está contido em [-1,1] (então a condição de existência de \arcsin x está satisfeita automaticamente dentro desse intervalo).

Passo 6

Verificação dos extremos (para ver se são incluídos):
  • Em x=\sin(1) temos \arcsin(\sin(1))=1 (porque 1 está no intervalo principal de \arcsin), e \operatorname{arccos}(1)=0. Portanto x=\sin(1) é permitido.
  • Em x=-\sin(1) temos \arcsin(-\sin(1))=-1 e \operatorname{arccos}(-1)=\pi. Portanto x=-\sin(1) também é permitido.
  • Logo os extremos são incluídos e o maior domínio (que contém 0) é o intervalo fechado encontrado.

Resposta

[-\sin(1),\sin(1)]

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