Uma câmera de efusão de 2 L tem um orifício circular de 3 mm de diâmetro. Essa câmera encontra-se fechada, preenchida \operatorname{com} 5 \times 10^{-5} \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3} do gás \mathrm{H}_{2} (raio é 260 pm ) e 1,0 \times 10^{-3} \mathrm{~mol} \mathrm{dm}^{-3} do gás \mathrm{CH}_{4} à temperatura de 25^{\circ} \mathrm{C}. Baseado nesses dados responda:
a) Calcule velocidade média quadrática dos gases nestas condições;
b) Calcule a pressão de cada gás nestas condições;
c) percurso médio das moléculas de \mathrm{H}_{2};
d) Calcule a frequência de colisão desse gás;
e) A perda de massa do gás metano \mathrm{CH}_{4}, quando o orifício é aberto durante o intervalo de tempo de 5 minutos.

Passo 1

O enunciado descreve uma “câmara de efusão” de volume 2\rm\;L (ou 2\times10^{-3}\rm\;m^3) com um orifício circular de diâmetro 3\rm\;mm. No interior, a T=25^\circ\!C 298\rm\;K há concentração de \mathrm{H_2} igual a 5\times10^{-5}\,\rm mol\,dm^{-3} e de \mathrm{CH_4} igual a 1{,}0\times10^{-3}\,\rm mol\,dm^{-3}.
Conteúdos que vamos usar:
  1. Velocidade quadrática média (rms) de um gás ideal
  2. Equação de estado pV=nRT
  3. Comprimento livre médio \displaystyle\lambda=\frac{kT}{\sqrt2\,\pi d^2p}
  4. Frequência de colisão z=\dfrac{\bar v}{\lambda}, onde \bar v é a velocidade média
  5. Taxa de efusão e equação diferencial para N(t) na câmara

Passo 2

Para cada gás, a velocidade rms é
v_{\rm rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}
onde R=8{,}314\rm\;J/(mol\,K) e M é a massa molar em \rm kg/mol.
  • Para \mathrm{H_2}: M=2{,}016\times10^{-3}\rm\;kg/mol,
v_{\rm rms}(H_2)=\sqrt{\frac{3\times8{,}314\times298}{2{,}016\times10^{-3}}}\approx1{,}92\times10^3\;\rm m/s.
  • Para \mathrm{CH_4}: M=16{,}04\times10^{-3}\rm\;kg/mol,
v_{\rm rms}(CH_4)=\sqrt{\frac{3\times8{,}314\times298}{16{,}04\times10^{-3}}}\approx6{,}80\times10^2\;\rm m/s.

Passo 3

Convertendo concentrações para mol por metro cúbico: \displaystyle n_{H_2}=5\times10^{-5}\,\rm mol/dm^3=5\times10^{-2}\,mol/m^3, \displaystyle n_{CH_4}=1{,}0\times10^{-3}\,\rm mol/dm^3=1{,}0\,mol/m^3.
Pela equação dos gases ideais p=nRT:
p(H_2)=5\times10^{-2}\times8{,}314\times298\approx1{,}24\times10^2\;\rm Pa,
p(CH_4)=1{,}0\times8{,}314\times298\approx2{,}48\times10^3\;\rm Pa.

Passo 4

Para \mathrm{H_2}, o raio molecular dado é 260\rm\;pm, logo o diâmetro efetivo de colisão é \displaystyle d=2\times260\rm\;pm=520\times10^{-12}\;m.
O comprimento livre médio é
\lambda = \frac{kT}{\sqrt2\,\pi\,d^2\,p(H_2)},
com k=1{,}381\times10^{-23}\rm\;J/K. Substituindo,
\lambda\approx\frac{1{,}381\times10^{-23}\times298} {\sqrt2\;\pi\;(5,20\times10^{-10})^2\;1,24\times10^2} \approx2,75\times10^{-5}\;\rm m.

Passo 5

A frequência de colisão de cada molécula de \mathrm{H_2} é
z=\frac{\bar v}{\lambda},
onde a velocidade média é \displaystyle \bar v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}. Para \mathrm{H_2} isso dá
\bar v=\sqrt{\frac{8\times8{,}314\times298}{\pi\times2{,}016\times10^{-3}}}\approx1{,}77\times10^3\;\rm m/s,
logo
z\approx\frac{1{,}77\times10^3}{2,75\times10^{-5}}\approx6,4\times10^7\;\rm s^{-1}.

Passo 6

Ao abrir o orifício para vácuo, o número de moléculas N(t) de \mathrm{CH_4} na câmara obedece
\frac{dN}{dt}=-\frac{1}{4}\,\frac{N}{V}\,\bar v\,A,
com V=2{,}0\times10^{-3}\rm\;m^3, área do orifício \displaystyle A=\pi\bigl(1,5\times10^{-3}\bigr)^2\approx7,07\times10^{-6}\rm\;m^2
e \bar v\approx6,28\times10^2\rm\;m/s para o \mathrm{CH_4}. Definindo \displaystyle k=\frac{\bar v\,A}{4V}\approx0,55\;\rm s^{-1}, a solução é \displaystyle N(t)=N_0\,e^{-kt}. Em t=5 min ( 300 s) temos k\,t\approx166,
logo N(300)\approx0 e a câmara praticamente se esvazia. A perda de massa é, então, praticamente toda a massa inicial de \mathrm{CH_4}.
Como a concentração inicial era 1{,}0\times10^{-3}\rm\;mol/dm^3 em 2\rm\;L, havia \displaystyle N_0=1{,}0\times10^{-3}\times2=2{,}0\times10^{-3} mol de \mathrm{CH_4}.
A massa perdida é
m = N_0\times M =2{,}0\times10^{-3}\;\rm mol\times16{,}04\times10^{-3}\;\rm kg/mol \approx3,2\times10^{-5}\;\rm kg =3,2\times10^{-2}\;\rm g.

Resposta

a) v_{\rm rms}(H_2)\approx1{,}92\times10^3\;\rm m/s, v_{\rm rms}(CH_4)\approx6{,}80\times10^2\;\rm m/s.
b) p(H_2)\approx1,24\times10^2\;\rm Pa, p(CH_4)\approx2,48\times10^3\;\rm Pa.
c) \lambda(H_2)\approx2,75\times10^{-5}\;\rm m.
d) z(H_2)\approx6,4\times10^7\;\rm s^{-1}.
e) massa de \mathrm{CH_4} perdida \approx3,2\times10^{-5}\;\rm kg (ou 3,2\times10^{-2}\;\rm g).

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