Um pião infantil é girado com aceleração angular a=5 t^{3}-4 t, com t em segundos e a em \mathrm{rad} / \\mathrm{s}^{2}. No instante t=0, o pião possui velocidade angular \omega=5 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, e uma linha de referência nele está na posição angular \theta=2 \mathrm{rad}.
(a) Obtenha uma expressão para a velocidade angular \omega(t) do pião. Ou seja, encontre uma expressão que indique explicitamente como a velocidade angular depende do tempo. (Sabemos que existe tal dependência porque o pião está sujeito a uma aceleração angular, o que significa que sua velocidade angular está mudando.)

Passo 1

O enunciado dá a aceleração angular \alpha(t) de um pião como
\alpha(t)=5\,t^{3}-4\,t
e diz que em t=0 a velocidade angular é \omega(0)=5\;\mathrm{rad/s}. Como sabemos que
\alpha(t)=\frac{d\omega}{dt},
para achar \omega(t) basta integrar \alpha(t) em relação a t e usar a condição inicial.

Passo 2

Escrevemos a equação diferencial e integramos:
\frac{d\omega}{dt}=5\,t^{3}-4\,t
\omega(t)=\int\bigl(5\,t^{3}-4\,t\bigr)\,dt + C.

Passo 3

Fazendo a integração, obtemos
\omega(t)=\frac{5}{4}\,t^{4}-2\,t^{2}+C.
Para determinar C, usamos \omega(0)=5:
\omega(0)=\frac{5}{4}\cdot0^{4}-2\cdot0^{2}+C=5\quad\Longrightarrow\quad C=5.

Passo 4

Substituindo C=5 na expressão, concluímos que
\omega(t)=\frac{5}{4}\,t^{4}-2\,t^{2}+5.

Resposta

\omega(t)=\frac{5}{4}\,t^{4}-2\,t^{2}+5.

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