Uma câmera de televisão está posicionada a 900 m de uma base de lançamento de um foguete. Se o foguete estiver subindo verticalmente a 300 m / s quando já está a uma altura de 1200 m , quão rápido deve mudar o ângulo de elevação da câmera naquele instante para que se mantenha apontada para o foguete.

Passo 1

O enunciado dá uma câmera fixa situada a 900,m da base de lançamento e um foguete que sobe verticalmente. No instante considerado, a altura do foguete é y=1200,m e sua velocidade vertical é dydt=300,m/s. Queremos achar a taxa de variação do ângulo de elevação theta da câmera para manter o foguete no centro da imagem.

Passo 2

Modelamos a situação com o triângulo retângulo cuja base horizontal é 900,m e a altura é y(t). A relação trigonométrica é
tan(theta)=y900

Passo 3

Diferenciamos ambos os lados em relação ao tempo t:
sec^2(theta),dthetadt=1900,dydt

Passo 4

No instante em que y=1200,m, temos
cos^2(theta) =1sec^2(theta) =900^2900^2+1200^2 =8100002250000 =925

Passo 5

Isolando dthetadt e substituindo dydt=300,m/s:
dthetadt =1900,dydt,cos^2(theta) =1900cdot300cdot925 =300cdot9900cdot25 =270022500 =325=0,12

Resposta

dthetadt=0,12 rad/s

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