Resolva os itens a) e b) abaixo:
Mostre que a série de Fourier da função f: R R dada por f(theta)=sen^2(theta) é dada por 12-12 cos (2 theta). (Dica: Uma das formas de fazer isto é usar que sen^2(theta)= (e^i theta-e^-i theta2 i)^2).

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que a série de Fourier de f(theta)=sen^2(theta) é
12-12cos(2theta)
Para isso vamos usar a forma exponencial de sen, que é
sen(theta)=e^itheta-e^-itheta2i

Passo 2

Substituímos essa expressão em sen^2(theta):
sen^2(theta) =(e^itheta-e^-itheta2i)^2 =1(2i)^2l(e^2itheta-2+e^-2ithetar) =-14l(e^2itheta-2+e^-2ithetar)
Distribuindo o -tfrac14, obtemos
sen^2(theta) =underbrace241/2 -underbrace14e^2ithetatermo de frequência 2 -underbrace14e^-2ithetatermo de frequência -2 =12-14l(e^2itheta+e^-2ithetar) êê
Mas sabemos que
cos(2theta)=e^2itheta+e^-2itheta2,
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sen^2(theta) =12-12cos(2theta),
que é exatamente a série de Fourier, com coeficiente constante a0=1/2 e coeficiente de cosseno de ordem 2 igual a -1/2.

Passo 3

O item b) não pôde ser resolvido porque o enunciado do item b) não foi fornecido.

Resposta

a) sen^2(theta)=12-12cos(2theta)
b) Não há como resolver pois o enunciado do item b) não foi apresentado.

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