Um caminhante aleatório começa sua caminhda em um poste de luz no meio de uma rua, dando passos de igual comprimento para a direita ou para a esquerda com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que o homem esteja novamente no poste de luz após dar N passos
se N for par?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um caminhante aleatório começa no poste (posição 0) e, a cada passo, vai para a direita ou para a esquerda com probabilidade ½ cada. A gente quer saber qual é a probabilidade de ele voltar exatamente ao poste depois de passos, supondo que seja par.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade básica, combinatória (coeficiente binomial) e noções de distribuição de Bernoulli (cada passo é tipo um “sucesso” ou “fracasso”).

Passo 2

Para o caminhante voltar ao 0 depois de passos, o número de passos para a direita deve ser igual ao número de passos para a esquerda. Se é par, chamemos .
  • Se ele der passos para a direita e para a esquerda, a posição final é .
  • Queremos , ou seja, .

Passo 3

Agora, quantas sequências de binomNm ;=; binom2mm passos têm exatamente direitas e esquerdas? Isso é dado pelo coeficiente binomial
Cada sequência específica acontece com probabilidade , porque são escolhas independentes de probabilidade ½.

Passo 4

Somando a probabilidade de todas as sequências que satisfazem o retorno ao poste, fica
P(vo

Resposta

boxedPl(voóí

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