Um caminhante aleatório começa sua caminhda em um poste de luz no meio de uma rua, dando passos de igual comprimento para a direita ou para a esquerda com igual probabilidade. Qual é a probabilidade de que o homem esteja novamente no poste de luz após dar N passos
se N for par?
se N for par?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que um caminhante aleatório começa no poste (posição 0) e, a cada passo, vai para a direita ou para a esquerda com probabilidade ½ cada. A gente quer saber qual é a probabilidade de ele voltar exatamente ao poste depois de
passos, supondo que
seja par.
Conteúdo que vamos usar: probabilidade básica, combinatória (coeficiente binomial) e noções de distribuição de Bernoulli (cada passo é tipo um “sucesso” ou “fracasso”).
Conteúdo que vamos usar: probabilidade básica, combinatória (coeficiente binomial) e noções de distribuição de Bernoulli (cada passo é tipo um “sucesso” ou “fracasso”).
Passo 2
Para o caminhante voltar ao 0 depois de
passos, o número de passos para a direita deve ser igual ao número de passos para a esquerda. Se
é par, chamemos
.
- Se ele der
passos para a direita e para a esquerda, a posição final é . - Queremos
, ou seja, .
Passo 3
Agora, quantas sequências de
passos têm exatamente
direitas e
esquerdas? Isso é dado pelo coeficiente binomial
Cada sequência específica acontece com probabilidade
, porque são
escolhas independentes de probabilidade ½.
Passo 4
Somando a probabilidade de todas as sequências que satisfazem o retorno ao poste, fica