Um número é escolhidoo aleatoriamente entre 0 e 1. Qual é a probabilidade de que exatamente 5 de suas primeiras 10 casas decimais consistam em dígitos menores que 5 ?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “Escolhemos um número aleatório entre 0 e 1. Qual a probabilidade de que exatamente 5 das suas primeiras 10 casas decimais sejam dígitos menores que 5?”
Conteúdo da matéria: probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial.
O que vamos precisar:
  1. Entender que cada casa decimal (0, 1, 2, …, 9) é igualmente provável e independentemente sorteada;
  2. Calcular a probabilidade de um dígito ser menor que 5 (isto é, estar entre 0 e 4);
  3. Aplicar a fórmula da distribuição binomial para “exatamente k sucessos em n tentativas”.

Passo 2

Primeiro, qual a chance de um dígito qualquer ser menor que 5?
Temos 10 dígitos possíveis (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e 5 deles são “menores que 5” (0–4).
Então a probabilidade de “sucesso” (dígito < 5) é
p = 510 = tfrac12
Como as casas são independentes, isso vale para cada uma das 10 primeiras casas.

Passo 3

Agora, queremos a chance de ter exatamente P(X = k) ;=; binomnk,p^k,(1-p)^,n-k sucessos em P(X = 5) = binom105,l(tfrac12r)^5,l(1 - tfrac12r)^5 tentativas, com . A fórmula da binomial é:
Aqui fica:

Passo 4

Calcular cada parte:
  1. O coeficiente binomial P(X=5) = 252 times 132 times 132 = 252 times 11024 = 2521024
  2. , e o mesmo para
  3. Multiplicando tudo:

Resposta

boxedP = 2521024 = 63256 approx 0,2461

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