Um número é escolhidoo aleatoriamente entre 0 e 1. Qual é a probabilidade de que exatamente 5 de suas primeiras 10 casas decimais consistam em dígitos menores que 5 ?
Passo 1
Beleza, o enunciado diz: “Escolhemos um número aleatório entre 0 e 1. Qual a probabilidade de que exatamente 5 das suas primeiras 10 casas decimais sejam dígitos menores que 5?”
Conteúdo da matéria: probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial.
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: probabilidade, mais especificamente a distribuição binomial.
O que vamos precisar:
- Entender que cada casa decimal (0, 1, 2, …, 9) é igualmente provável e independentemente sorteada;
- Calcular a probabilidade de um dígito ser menor que 5 (isto é, estar entre 0 e 4);
- Aplicar a fórmula da distribuição binomial para “exatamente k sucessos em n tentativas”.
Passo 2
Primeiro, qual a chance de um dígito qualquer ser menor que 5?
Temos 10 dígitos possíveis (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e 5 deles são “menores que 5” (0–4).
Então a probabilidade de “sucesso” (dígito < 5) é
Temos 10 dígitos possíveis (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) e 5 deles são “menores que 5” (0–4).
Então a probabilidade de “sucesso” (dígito < 5) é
Como as casas são independentes, isso vale para cada uma das 10 primeiras casas.
Passo 3
Agora, queremos a chance de ter exatamente
sucessos em
tentativas, com
. A fórmula da binomial é:
Aqui fica:
Passo 4
Calcular cada parte:
- O coeficiente binomial
-
, e o mesmo para - Multiplicando tudo: