Considere a função
onde
. Uma expansão direta de Taylor de
pode levar a uma série divergente quando
. Para obter uma aproximação válida para
, uma abordagem altemativa é usar uma expansão logarítmica da função
.
Derive uma expressão aproximada para
usando expansão logarítmica e determine as condições sob as quais essa aproximação permanece válida.
Derive uma expressão aproximada para
Passo 1
Beleza, vamos recapitular: a questão pede pra gente aproximar
onde
e a gente quer uma expansão válida quando
. A abordagem direta em série de Taylor em torno de
dá problema de divergência quando
. Então a ideia é passar pela forma logarítmica e depois reexponenciar.
Conteúdo usado:
Conteúdo usado:
- Série de Taylor (para
), - Propriedade
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: escrever
Aí fica mais fácil trabalhar: em vez de expandir
diretamente, a gente expande o
.
Passo 3
Para
, a série de Taylor de
é
Isso vale porque a derivada de
gera potências de
sobre
, que em
dá exatamente essa sequência.
Passo 4
Substituindo na exponencial:
Se a gente quiser, por exemplo, uma aproximação até
, basta truncar depois de
:
Para saber quando isso vale, a gente observa o próximo termo desprezado, que seria
no expoente. Para ele ser muito menor que 1 e não bagunçar a aproximação, precisa
Se você quiser truncar só no termo linear (
), o erro vem de
e você precisa
Passo 5
Resumindo a regra geral: se você mantiver termos até
no logaritmo, a condição de validade é
Isso permite
da ordem de 1 (ou até maior) desde que o próximo poder de
multiplique
continue pequeno.
Resposta
Uma aproximação via expansão logarítmica é
válida desde que
e o primeiro termo desprezado no expoente satisfaça
, onde
é a maior ordem de
mantida.