Considere a função f=(1+y)^-N onde N gg 1. Uma expansão direta de Taylor de f pode levar a uma série divergente quando N y >rsim 1. Para obter uma aproximação válida para y ll 1, uma abordagem altemativa é usar uma expansão logarítmica da função f.
Derive uma expressão aproximada para f usando expansão logarítmica e determine as condições sob as quais essa aproximação permanece válida.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular: a questão pede pra gente aproximar
f(y) = (1 + y)^-N,
onde e a gente quer uma expansão válida quando . A abordagem direta em série de Taylor em torno de dá problema de divergência quando . Então a ideia é passar pela forma logarítmica e depois reexponenciar.
Conteúdo usado:
  • Série de Taylor (para ),
  • Propriedade .

Passo 2

Primeiro passo técnico: escrever
f(y) = (1+y)^-N = expl(ln((1+y)^-N)r) = expl(-N,ln(1+y)r)
Aí fica mais fácil trabalhar: em vez de expandir diretamente, a gente expande o .

Passo 3

Para ln(1+y) = y ;-;y^22;+;y^33;-;cdots , a série de Taylor de é
Isso vale porque a derivada de gera potências de sobre , que em dá exatamente essa sequência.

Passo 4

Substituindo na exponencial:
f(y) = expl(-Nl[y - tfracy^22 + tfracy^33 - cdotsr]r)
Se a gente quiser, por exemplo, uma aproximação até f(y)approx expl(-N y + tfracN y^22r) , basta truncar depois de N,y^3 ll 1 :
N,y^2 ll 1
Para saber quando isso vale, a gente observa o próximo termo desprezado, que seria no expoente. Para ele ser muito menor que 1 e não bagunçar a aproximação, precisa
Se você quiser truncar só no termo linear ( ), o erro vem de e você precisa

Passo 5

Resumindo a regra geral: se você mantiver termos até N,y^M+1ll1 no logaritmo, a condição de validade é
Isso permite da ordem de 1 (ou até maior) desde que o próximo poder de multiplique continue pequeno.

Resposta

Uma aproximação via expansão logarítmica é
boxed% f(y) approx expl(-N y + tfracN y^22 - tfracN y^33 + cdotsr),
válida desde que e o primeiro termo desprezado no expoente satisfaça , onde é a maior ordem de mantida.

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