1. Um caminhão anda sob a chuva com velocidade constante igual a 25 \frac{\mathrm{~m}}{\mathrm{~s}} \hat{\imath}. O caminhão tem uma caçamba na qual caem 2,0 \mathrm{~kg} de água por segundo. Segundo um observador parado na estrada, a chuva cai na direção vertical com velocidade -40 \frac{m}{s} \hat{\jmath}. Calcule a força que a água da chuva exerce sobre o caminhão.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a força que a água da chuva exerce sobre o caminhão.
Informações dadas (peguei estes dados do enunciado):
  • Velocidade do caminhão: \vec v_{\text{c}} = 25\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\hat\imath.
  • Vazão de massa de água que cai na caçamba: \dot m = 2,0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Velocidade da chuva, medida por um observador parado na estrada: \vec v_{\text{chuva}} = -40\\ \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\hat\jmath.
Pergunta a responder: qual é a força vetorial que a água exerce sobre o caminhão (em newtons, com componentes em \hat\imath e \hat\jmath).

Passo 2

Ideia física e fórmula que vamos usar (explicação didática):
  • Quando a água entra na caçamba ela muda de velocidade: antes tinha a velocidade da chuva (relativa à estrada) e depois passa a mover-se com o caminhão. Mudar a velocidade de uma massa exige uma força (segunda lei de Newton aplicada à variação de quantidade de movimento).
  • Para um fluxo contínuo de massa que entra com taxa \dot m (em \mathrm{kg/s}), a taxa com que a quantidade de movimento da água muda é \dot m(\vec v_{\text{f}}-\vec v_{\text{i}}), onde \vec v_{\text{i}} é a velocidade da água antes de entrar e \vec v_{\text{f}} é a velocidade depois de entrar (ambas no referencial da estrada).
  • Essa quantidade \dot m(\vec v_{\text{f}}-\vec v_{\text{i}}) é a força que o caminhão deve exercer sobre a água para mudá-la de velocidade. Pela terceira lei de Newton, a água exerce sobre o caminhão a força oposta:
\vec F_{\text{água sobre caminhão}} = -\,\dot m\bigl(\vec v_{\text{f}}-\vec v_{\text{i}}\bigr).áã
  • Aqui:
    • \dot m é a taxa de entrada de massa ( \mathrm{kg/s});
    • \vec v_{\text{i}} é a velocidade da água antes de ser capturada ( \mathrm{m/s});
    • \vec v_{\text{f}} é a velocidade da água depois de capturada, que será a velocidade do caminhão ( \mathrm{m/s}).

Passo 3

Identificar \vec v_{\text{i}} e \vec v_{\text{f}} a usar na fórmula (tudo no referencial da estrada):
  • Velocidade inicial da água (chuva): \vec v_{\text{i}} = 0\hat\imath -40\hat\jmath \left(\text{em }\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).
  • Velocidade final da água (após cair na caçamba, passa a mover-se com o caminhão): \vec v_{\text{f}} = 25\hat\imath + 0\hat\jmath \left(\text{em }\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right).
  • Variação de velocidade sofrida pela água:
\Delta \vec v = \vec v_{\text{f}}-\vec v_{\text{i}} = (25\hat\imath + 0\hat\jmath) - (0\hat\imath -40\hat\jmath) = 25\hat\imath + 40\hat\jmath.
Explicando passo a passo: a componente horizontal da chuva era zero e passa a 25\hat\imath, então ganhamos 25\hat\imath. A componente vertical era -40\hat\jmath (queda para baixo) e passa a 0, então a variação vertical é +40\hat\jmath (ou seja, a água foi freada para parar a queda).

Passo 4

Calcular a força usando a fórmula e a vazão de massa \dot m = 2,0\\ \mathrm{kg/s}.
Força que o caminhão faz sobre a água:
\vec F_{\text{caminhão sobre água}} = \dot m\,\Delta \vec v = 2{,}0\,(25\hat\imath + 40\hat\jmath) = 50\hat\imath + 80\hat\jmath\\ \mathrm{N}.ãá
Portanto, pela terceira lei de Newton, a força que a água exerce sobre o caminhão é a oposta:
\vec F_{\text{água sobre caminhão}} = -\bigl(50\hat\imath + 80\hat\jmath\bigr)\\ \mathrm{N} = -50\hat\imath -80\hat\jmath\\ \mathrm{N}.áã
Interpretação dos sinais:
  • Componente em \hat\imath é negativa: a água exerce sobre o caminhão uma resistência (força para trás) de 50\\ \mathrm{N} devido à necessidade de acelerar a água horizontalmente.
  • Componente em \hat\jmath é negativa: a água exerce sobre o caminhão uma força para baixo de 80\\ \mathrm{N} porque a chuva precisava ser freada verticalmente ao atingir a caçamba.

Passo 5

Verificação rápida das unidades e ordens de grandeza:
  • \dot m em \mathrm{kg/s} vezes \Delta v em \mathrm{m/s} \mathrm{N} (kg·m/s²), consistente.
  • Valores numéricos são modestos e coerentes para uma taxa de 2,0\\ \mathrm{kg/s}.

Resposta

\vec F_{\text{água sobre caminhão}} = -50\hat\imath -80\hat\jmath\\ \mathrm{N}áã

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