Um caminhnio descarrega areia a uma taxa de 5 m^3 / min de tal forma que a areia descarreguda tem o formato de cone em que a altura é igual ao dobro do diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura é de 4 m .

Passo 1

Então, vamos lá! O problema fala sobre um caminhão que está descarregando areia, formando uma pilha em formato de cone. A taxa de descarregamento da areia é de 5 , m^3/min. A altura desse cone é o dobro do diâmetro da base. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido a altura dessa pilha está crescendo quando a altura chega a 4 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o volume de um cone e como as taxas de variação funcionam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o volume de um cone:
V = 13 pi r^2 h
Onde:
  • V é o volume,
  • r é o raio da base,
  • h é a altura.

Passo 3

O problema diz que a altura h é o dobro do diâmetro da base. Sabemos que o diâmetro d é igual a 2r, então:
h = 2d = 2 times 2r = 4r implies r = h4
Agora, podemos substituir r na fórmula do volume:
V = 13 pi (h4)^2 h = 13 pi h^316 = pi h^348

Passo 4

Sabemos que a taxa de variação do volume $ \frac{dV}{dt} $ é dVdt . Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação da altura $ \frac{dh}{dt} $:
5 , m^3/min

Passo 5

Agora, vamos isolar $ \frac{dh}{dt} $:
dhdt

Passo 6

Queremos a taxa de crescimento da altura quando $ h = 4 , m $:
h = 4 , m
Aproximando o valor de $ \pi $, temos:
dhdt = 80pi (4)^2 = 8016pi = 5pi , m/min

Resposta

A taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura é de 4 metros é aproximadamente 1,59 , m/min.

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