Um caminhnio descarrega areia a uma taxa de
de tal forma que a areia descarreguda tem o formato de cone em que a altura é igual ao dobro do diâmetro da base. Determine a taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura é de 4 m .
Passo 1
Então, vamos lá! O problema fala sobre um caminhão que está descarregando areia, formando uma pilha em formato de cone. A taxa de descarregamento da areia é de
. A altura desse cone é o dobro do diâmetro da base. Nosso objetivo aqui é descobrir quão rápido a altura dessa pilha está crescendo quando a altura chega a 4 metros. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre o volume de um cone e como as taxas de variação funcionam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula para o volume de um cone:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base, -
é a altura.
Passo 3
O problema diz que a altura
é o dobro do diâmetro da base. Sabemos que o diâmetro
é igual a
, então:
Agora, podemos substituir
na fórmula do volume:
Passo 4
Sabemos que a taxa de variação do volume $ \frac{dV}{dt} $ é
. Vamos derivar a expressão do volume em relação ao tempo para encontrar a taxa de variação da altura $ \frac{dh}{dt} $:
Passo 5
Agora, vamos isolar $ \frac{dh}{dt} $:
Passo 6
Queremos a taxa de crescimento da altura quando $ h = 4 , m $:
Aproximando o valor de $ \pi $, temos:
Resposta
A taxa de crescimento da altura da pilha quando a altura é de 4 metros é aproximadamente
.