Utilize a transformada de Laplace e o Teorema da Convolução, para mostrar que a solução geral da EDO
pode ser escrita como
onde
e
.
Passo 1
Vamos resolver a EDO
com condições iniciais
e
usando a transformada de Laplace e o teorema da convolução. Precisamos conhecer as propriedades de transformada de derivadas e a noção de convolução para inverter a transformada.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como
e
, obtemos:
onde
.
Passo 3
Isolamos
:
logo
Passo 4
Invertemos a transformada de cada termo. Sabemos que
e pelo teorema da convolução,
Passo 5
Como
, a parte particular fica
Somando com a solução homogênea, concluímos.
Passo 6
A solução geral é a soma das partes:
Resposta
y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)+\frac{1}{\omega}\int_{0}^{x}\sin\bigl[\omega(x-t)\bigr]f(t),dt