Utilize a transformada de Laplace e o Teorema da Convolução, para mostrar que a solução geral da EDO
y^prime prime+omega^2 y=f(x), omega>0
pode ser escrita como
y(x)=A cos (omega x)+B sen(omega x)+1omega integral0^x sen[omega(x-t)] f(t) d t
onde y(0)=A e y^prime(0)=B omega.

Passo 1

Vamos resolver a EDO y''+omega^2y=f(x) com condições iniciais y(0)=A e y'(0)=Bomega usando a transformada de Laplace e o teorema da convolução. Precisamos conhecer as propriedades de transformada de derivadas e a noção de convolução para inverter a transformada.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Como Ly''(s)=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0) e Ly(s)=Y(s), obtemos:
s^2Y(s)-sA-Bomega +omega^2Y(s)=F(s),
onde F(s)= Lf(x)(s).

Passo 3

Isolamos Y(s):
Y(s)(s^2+omega^2)=sA+Bomega+F(s)
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Y(s)=sA+Bomegas^2+omega^2+F(s)s^2+omega^2

Passo 4

Invertemos a transformada de cada termo. Sabemos que
L^-1lss^2+omega^2r=cos(omega x),
L^-1lomegas^2+omega^2r=sin(omega x),
e pelo teorema da convolução,
L^-1lF(s)s^2+omega^2r=igl(f* L^-11/(s^2+omega^2)r)(x) 

Passo 5

Como L^-11/(s^2+omega^2)=(1/omega)sin(omega x), a parte particular fica
yp(x)=integral0^x f(t)1omegasinl(omega(x-t)r),dt
Somando com a solução homogênea, concluímos.

Passo 6

A solução geral é a soma das partes:
y(x)=Acos(omega x)+Bsin(omega x)+1omegaintegral0^xsinl[omega(x-t)r]f(t),dt

Resposta

y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)+\frac{1}{\omega}\int_{0}^{x}\sin\bigl[\omega(x-t)\bigr]f(t),dt

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