Seja F(s)=Lf(t). Determine a transformada inversa de Laplace da função:
b) F(s)=e^-2 ss^2(s-1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! A questão é sobre encontrar a transformada inversa da função $ F(s) = \frac{e^{-2 s}}{s^{2}(s-1)} $. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de transformada de Laplace, como a decomposição em frações parciais e o teorema da mudança de escala (ou deslocamento). Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a parte que envolve $ e^{-2s} $ de lado por enquanto e focar em $ \frac{1}{s^{2}(s-1)} $. Para encontrar a transformada inversa dessa função, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Isso significa escrever $ \frac{1}{s^{2}(s-1)} $ como a soma de frações mais simples.

Passo 3

Vamos supor que:
1s^2(s-1) = As + Bs^2 + Cs-1
Multiplicando ambos os lados por $ s^{2}(s-1) $ para eliminar os denominadores, temos:
s^2(s-1)
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.

Passo 4

Para achar $ B $, substituímos $ s = 0 $:
B
Para achar $ C $, substituímos $ s = 1 $:
s = 0
Agora, para encontrar $ A $, expandimos a equação geral:
1 = A cdot 0 cdot (-1) + B cdot (-1) + C cdot 0 Rightarrow 1 = -B Rightarrow B = -1
Comparando os coeficientes, temos:
C
Já sabemos que $ B = -1 $ e $ C = 1 $, então:
s = 1

Passo 5

Agora que temos $ A = -1 $, $ B = -1 $ e $ C = 1 $, podemos escrever:
A = -1
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.

Passo 6

Sabemos que:
L^-11s = 1 L^-11s^2 = t L^-11s-1 = e^t
Portanto:
L^-1-1s = -1 L^-1-1s^2 = -t L^-11s-1 = e^t

Passo 7

Juntando tudo, a transformada inversa de $ \frac{1}{s^{2}(s-1)} $ é:
1s^2(s-1)
Mas lembre-se que originalmente tínhamos $ e^{-2s} $ multiplicando essa fração. Isso significa que precisamos aplicar o teorema do deslocamento na transformada de Laplace, que diz que:
-1 - t + e^t
onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que “liga” a função a partir de $ t = a $.

Passo 8

Aplicando esse teorema com $ a = 2 $ e $ f(t) = -1 - t + e^{t} $, temos:
a = 2
Simplificando:
f(t) = -1 - t + e^t
Isso significa que a função $ f(t) $ é zero para $ t < 2 $ e segue a expressão $ e^{t - 2} - t + 1 $ a partir de $ t = 2 $.

Resposta

A transformada inversa de Laplace de $ F(s) = \frac{e^{-2 s}}{s^{2}(s-1)} $ é:
F(s) = e^-2 ss^2(s-1)
onde $ u(t - 2) $ é a função degrau unitário que ativa a função a partir de $ t = 2 $.

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