Seja
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
b)
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de transformada inversa de Laplace juntos! A questão é sobre encontrar a transformada inversa da função $ F(s) = \frac{e^{-2 s}}{s^{2}(s-1)} $. Para isso, vamos precisar usar alguns conceitos de transformada de Laplace, como a decomposição em frações parciais e o teorema da mudança de escala (ou deslocamento). Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a parte que envolve $ e^{-2s} $ de lado por enquanto e focar em $ \frac{1}{s^{2}(s-1)} $. Para encontrar a transformada inversa dessa função, vamos fazer a decomposição em frações parciais. Isso significa escrever $ \frac{1}{s^{2}(s-1)} $ como a soma de frações mais simples.
Passo 3
Vamos supor que:
Multiplicando ambos os lados por $ s^{2}(s-1) $ para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos encontrar os valores de $ A $, $ B $ e $ C $.
Passo 4
Para achar $ B $, substituímos $ s = 0 $:
Para achar $ C $, substituímos $ s = 1 $:
Agora, para encontrar $ A $, expandimos a equação geral:
Comparando os coeficientes, temos:
Já sabemos que $ B = -1 $ e $ C = 1 $, então:
Passo 5
Agora que temos $ A = -1 $, $ B = -1 $ e $ C = 1 $, podemos escrever:
Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente.
Passo 6
Sabemos que:
Portanto:
Passo 7
Juntando tudo, a transformada inversa de $ \frac{1}{s^{2}(s-1)} $ é:
Mas lembre-se que originalmente tínhamos $ e^{-2s} $ multiplicando essa fração. Isso significa que precisamos aplicar o teorema do deslocamento na transformada de Laplace, que diz que:
onde $ u(t - a) $ é a função degrau unitário que “liga” a função a partir de $ t = a $.
Passo 8
Aplicando esse teorema com $ a = 2 $ e $ f(t) = -1 - t + e^{t} $, temos:
Simplificando:
Isso significa que a função $ f(t) $ é zero para $ t < 2 $ e segue a expressão $ e^{t - 2} - t + 1 $ a partir de $ t = 2 $.
Resposta
A transformada inversa de Laplace de $ F(s) = \frac{e^{-2 s}}{s^{2}(s-1)} $ é:
onde $ u(t - 2) $ é a função degrau unitário que ativa a função a partir de $ t = 2 $.