Quantas são as permutações simples dos números 1,2, ldots, n nas quais o elemento que ocupa a k - ésima posição é inferior a k+4, para todo k?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantas permutações simples dos números 1, 2, ldots, n existem onde, em cada posição k, o número que está ali é menor que k + 4. Ou seja, para cada posição na sequência, o número nessa posição não pode ser maior ou igual a k + 4. Para resolver isso, vamos trabalhar com permutações restritas, onde impomos certas condições sobre a posição de cada elemento.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma permutações simples. É basicamente uma rearranjo de todos os elementos de um conjunto. No nosso caso, estamos rearranjando os números de 1 a n. Agora, a condição que o exercício impõe é que, para cada posição k, o número nessa posição deve ser menor que k + 4.

Passo 3

Vamos pensar em como aplicar essa condição. Para cada posição k, o número que podemos colocar lá deve ser de 1 até k + 3 (já que k + 4 não é permitido). Porém, precisamos garantir que não vamos repetir números em diferentes posições, já que estamos falando de permutações.

Passo 4

Uma maneira de abordar isso é calcular, para cada posição k, quantas opções temos para escolher o número que vai ali, considerando as restrições e os números já utilizados nas posições anteriores. Isso parece um pouco complicado, então vamos simplificar usando princípio da contagem.

Passo 5

Vamos considerar que, para cada posição k, temos no máximo k + 3 opções (de 1 até k + 3). Mas precisamos lembrar que os números não podem se repetir. Então, na posição 1, temos até 1 + 3 = 4 opções (se n >= 4), na posição 2 até 2 + 3 = 5 opções, e assim por diante, até a posição n.

Passo 6

Agora, para encontrar o total de permutações que satisfazem todas as restrições, multiplicamos o número de opções em cada posição. Ou seja, o total é o produto de (k + 3) para k variando de 1 até n.

Passo 7

Então, a fórmula para o número total de permutações é:
prodk=1^n (k + 3)
Isso significa que multiplicamos (1 + 3) times (2 + 3) times ldots times (n + 3).

Resposta

O número total de permutações simples que satisfazem a condição dada é:
prodk=1^n (k + 3) = 4 times 5 times 6 times ldots times (n + 3)

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