Quantas são as permutações simples dos números
nas quais o elemento que ocupa a
- ésima posição é inferior a
, para todo
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente descobrir quantas permutações simples dos números
existem onde, em cada posição
, o número que está ali é menor que
. Ou seja, para cada posição na sequência, o número nessa posição não pode ser maior ou igual a
. Para resolver isso, vamos trabalhar com permutações restritas, onde impomos certas condições sobre a posição de cada elemento.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma permutações simples. É basicamente uma rearranjo de todos os elementos de um conjunto. No nosso caso, estamos rearranjando os números de
a
. Agora, a condição que o exercício impõe é que, para cada posição
, o número nessa posição deve ser menor que
.
Passo 3
Vamos pensar em como aplicar essa condição. Para cada posição
, o número que podemos colocar lá deve ser de
até
(já que
não é permitido). Porém, precisamos garantir que não vamos repetir números em diferentes posições, já que estamos falando de permutações.
Passo 4
Uma maneira de abordar isso é calcular, para cada posição
, quantas opções temos para escolher o número que vai ali, considerando as restrições e os números já utilizados nas posições anteriores. Isso parece um pouco complicado, então vamos simplificar usando princípio da contagem.
Passo 5
Vamos considerar que, para cada posição
, temos no máximo
opções (de
até
). Mas precisamos lembrar que os números não podem se repetir. Então, na posição 1, temos até
opções (se
), na posição 2 até
opções, e assim por diante, até a posição
.
Passo 6
Agora, para encontrar o total de permutações que satisfazem todas as restrições, multiplicamos o número de opções em cada posição. Ou seja, o total é o produto de
para
variando de
até
.
Passo 7
Então, a fórmula para o número total de permutações é:
Isso significa que multiplicamos
.
Resposta
O número total de permutações simples que satisfazem a condição dada é: