Num campeonato de futebol, 16 times jogam entre si em turno e returno (duas partidas entre cada dupla de times). Quantas partidas ocorrem em todo o campeonato?
Passo 1
Vou deixar muito claro o que o problema dá e o que pede.
-
Dados do enunciado:
- Há
times. - Cada dupla de times joga entre si em turno e returno, ou seja, cada par de times disputa
partidas.
- Há
-
Pergunta do enunciado:
- Quantas partidas ocorrem em todo o campeonato?
Passo 2
Idéia para resolver (explicação didática, sem pular etapas): contar quantas duplas de times existem e multiplicar por
(porque cada dupla joga duas partidas).
Primeiro vamos contar quantas partidas haveria se cada dupla jogasse apenas uma vez (turno simples). O número de partidas em turno simples é exatamente o número de maneiras de escolher uma dupla de times entre
, isto é, o número de combinações de
elementos tomados de
em
, representado por
.
Passo 3
Explicando a fórmula da combinação
e por que ela vale
.
- Raciocínio: cada um dos
times poderia ser emparelhado com oponentes, então contando assim obtemos pares ordenados (time A contra time B é contado separadamente de time B contra time A). Mas numa partida entre A e B essa ordem não importa: o par e representam a mesma partida. Portanto devemos dividir por para corrigir a dupla contagem. Assim:
Passo 4
Aplicando a fórmula com
para obter o número de partidas em turno simples:
Calcule passo a passo:
Portanto, em turno simples haveria
partidas.
Passo 5
Agora lembrando que no enunciado cada dupla joga em turno e returno, ou seja, cada dupla joga
partidas. Logo o total de partidas é o total de duplas vezes
:
Passo 6
Compute o total:
Passo 7
Verificação por exemplo pequeno (sanity check): se houvesse
times,
partidas em turno simples e
em turno e returno. Isso bate com o que se espera para um mini-campeonato, então a lógica é consistente.