Num campeonato de futebol, 16 times jogam entre si em turno e returno (duas partidas entre cada dupla de times). Quantas partidas ocorrem em todo o campeonato?

Passo 1

Vou deixar muito claro o que o problema dá e o que pede.
  • Dados do enunciado:
    • 16 times.
    • Cada dupla de times joga entre si em turno e returno, ou seja, cada par de times disputa 2 partidas.
  • Pergunta do enunciado:
    • Quantas partidas ocorrem em todo o campeonato?

Passo 2

Idéia para resolver (explicação didática, sem pular etapas): contar quantas duplas de times existem e multiplicar por 2 (porque cada dupla joga duas partidas).
Primeiro vamos contar quantas partidas haveria se cada dupla jogasse apenas uma vez (turno simples). O número de partidas em turno simples é exatamente o número de maneiras de escolher uma dupla de times entre 16, isto é, o número de combinações de 16 elementos tomados de 2 em 2, representado por \binom{16}{2}.

Passo 3

Explicando a fórmula da combinação \binom{n}{2} e por que ela vale \dfrac{n(n-1)}{2}.
  • Raciocínio: cada um dos n times poderia ser emparelhado com n-1 oponentes, então contando assim obtemos n(n-1) pares ordenados (time A contra time B é contado separadamente de time B contra time A). Mas numa partida entre A e B essa ordem não importa: o par (A,B) e (B,A) representam a mesma partida. Portanto devemos dividir por 2 para corrigir a dupla contagem. Assim:
\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula com n=16 para obter o número de partidas em turno simples:
\binom{16}{2}=\frac{16\cdot 15}{2}.
Calcule passo a passo:
16\cdot 15 = 240,
\frac{240}{2}=120.
Portanto, em turno simples haveria 120 partidas.

Passo 5

Agora lembrando que no enunciado cada dupla joga em turno e returno, ou seja, cada dupla joga 2 partidas. Logo o total de partidas é o total de duplas vezes 2:
\text{Total de partidas} = 2\cdot \binom{16}{2}.

Passo 6

Compute o total:
2\cdot \binom{16}{2}=2\cdot 120 = 240.

Passo 7

Verificação por exemplo pequeno (sanity check): se houvesse 4 times, \binom{4}{2}=\dfrac{4\cdot3}{2}=6 partidas em turno simples e 2\cdot6=12 em turno e returno. Isso bate com o que se espera para um mini-campeonato, então a lógica é consistente.

Resposta

240 partidas

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