Um robô se move em um plano cartesiano. Ele precisa ir da origem ( 0,0 ) até o ponto (4,5) dando apenas passos unitários para a direita ou para cima. Quantos caminhos diferentes ele pode fazer?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa:
  • O robô parte do ponto (0,0).
  • O destino é o ponto (4,5).
  • O robô só pode dar passos unitários para a direita (vou chamar de R) ou para cima (vou chamar de U).
  • Pergunta: Quantos caminhos diferentes o robô pode fazer obedecendo essas regras?

Passo 2

Entendendo o que cada caminho é, de forma bem concreta.
  • Para ir de x=0 até x=4 usando somente passos unitários para a direita, o robô precisa dar exatamente 4 passos do tipo R.
  • Para ir de y=0 até y=5 usando somente passos unitários para cima, o robô precisa dar exatamente 5 passos do tipo U.
  • Ou seja, qualquer caminho válido é uma sequência de exatamente 4 letras R e 5 letras U, totalizando 4+5=9 passos.
Exemplo pequeno para visualizar: para ir até (1,1) há duas sequências possíveis de passos de comprimento 2: RU e UR. Isso mostra a ideia: caminhos correspondem a arranjos das letras R e U.

Passo 3

Transformando o problema em contagem de arranjos (combinações).
  • Temos 9 posições para preencher com passos.
  • Precisamos escolher em quais 4 dessas 9 posições vão ficar os passos R (ou equivalentemente escolher as 5 posições dos U).
  • O número de maneiras de escolher 4 posições entre 9 é um coeficiente binomial, escrito \displaystyle \binom{9}{4}.
  • Portanto o número de caminhos é \displaystyle \binom{9}{4} (igual a \displaystyle \binom{9}{5}).

Passo 4

Apresentando a fórmula e explicando cada símbolo.
  • A fórmula do coeficiente binomial é
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.
  • Aqui n! (lê-se “n fatorial”) é o produto n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot2\cdot1.
  • As variáveis significam:
    • n = número total de posições (aqui n=9);
    • k = número de posições que escolhemos para um dos tipos de passo (aqui k=4 para os R, ou k=5 para os U).
  • Substituindo no nosso caso:
\binom{9}{4}=\frac{9!}{4!\,5!}.

Passo 5

Calcular \displaystyle \binom{9}{4} de modo prático, sem calcular fatorial completo.
  • Podemos escrever o numerador de forma parcial:
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1}{(4\cdot3\cdot2\cdot1)\,(5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1)}.
  • Mas é mais simples cancelar antes de multiplicar. Observe que
\binom{9}{4}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6}{4\cdot3\cdot2\cdot1},
porque os fatores 5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 do 5! cancelam parte do 9!.
  • Agora simplificamos frações com cancelamento:
    • 8 no numerador dividido por 4 no denominador dá 2.
    • 6 no numerador dividido por 3 no denominador dá 2.
    • Ainda resta o 2 no denominador que podemos cancelar com esse 2 obtido (ou ver diretamente).
  • Fazendo as contas resultantes:
\binom{9}{4}=9\cdot2\cdot7\cdot1=9\cdot14=126.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida.
  • Também podia-se calcular \displaystyle \binom{9}{5}=\frac{9\cdot8\cdot7\cdot6\cdot5}{5!} e obter o mesmo resultado 126.
  • Teste mental pequeno: para (1,2) (um passo R e dois U) teríamos \binom{3}{1}=3 caminhos, que bate com a listagem RUU, URU, UUR. A lógica é a mesma aqui, só com números maiores.

Passo 7

Mensagem rápida de incentivo (você tá indo bem!).
  • Problemas de caminhos em grade são sempre transformar o percurso em permutações da sequência de passos e contar quantas sequências distintas existem.
  • Com prática, isso vira automático na prova: some os deslocamentos nas direções independentes e use o coeficiente binomial.

Resposta

126

Exercícios relacionados