Em um campeonato de futebol foram calculadas a quantidade de faltas cometidas por cada um dos 20 times participantes. Era de interesse da organização do campeonato entender a frequência de ocorrência de certas quantidades de faltas pelos times, por isso, os dados foram organizados na tabela de distribuição de frequências em classes a seguir.
Table 1: Tabela 1: Frequência de faltas cometidas pelos times do campeonato de futebol em questão.
\captionsetup{labelformat=empty}
Faltas Quantidades de times \left(f_{i}\right)
450 \vdash 490 2
490 \vdash 530 5
530 \vdash 570 8
570 \vdash 610 3
610 \vdash 650 2
Total 20
(a) Qual a amplitude de cada classe?
(b) Calcule a média e mediana? Apresente todos os cálculos e formulário teórico utilizado.

Fórmulas:

Média para dados organizados em classe:
\bar{x}=\frac{\sum_{k=1}^{K} f_{k} x_{k}}{n}, \quad \bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_{i}}{n},
em que k é quantidade de classes, f_{k} é a frequência da classe k, x_{k} é o ponto médio da classe k e n é a soma das frequências.

Mediana para dados organizados em classe:

Primeiro achar a posição da mediana e depois realizar interpolação. Se n for ímpar: A posição da mediana é \frac{n}{2}+1 e se n for a mediana é dada pela média dos elementos centrais, isto é, pela média de \frac{n}{2} 3 \frac{n}{2}+1. Encontradas a posições é preciso determinar em quais classes se encontram tais posições. Se n for ímpar, a mediana via interpolação é dada por
m d(X)=L_{\text {inferior }}^{k}+\left(\frac{n}{2}-F_{a n t}\right) \frac{h}{f_{k}}
Se n for par, a mediana é dada fazendo a média entre os dois elementos centrais \left(x_{c 1}\right. e \left.x_{c 2}\right), ou seja,
m d(X)=\frac{x_{c 1}+x_{c 2}}{2},
Para encontrar os dois elementos centrais, devemos utilizar interpolação linear:
x_{c 1}=L_{\text {inferior }}^{k}+\left(\frac{n}{2}-F_{a n t}-1\right) \frac{h}{f_{k}}
e
x_{c 2}=L_{\text {inferior }}^{k}+\left(\frac{n}{2}-F_{a n t}\right) \frac{h}{f_{k}}
,
em que F_{a} n t é a frequência acumulada da classe anterior a classe k; f_{k} é a frequência absoluta da classe que se encontra o elemento de interesse (ou o primeiro elemento central ou o segundo elemento central), h é a amplitude da classe n é a soma das frequências absolutas.
(c) Em que classe se encontra a moda?
(d) Calcule o desvio médio, a variância e o desvio padrão. Apresente todos os cálculos e o formulário teórico utilizado.
(e) Determine os valores do primeiro, segundo e terceiro quartis. Com bases nos resultados calculados, construa o box plot.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com calma (respira — a gente resolve isso juntos).
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
  • Classes de faltas e suas frequências:
    • Classe 1: 450 \vdash 490, f_1=2
    • Classe 2: 490 \vdash 530, f_2=5
    • Classe 3: 530 \vdash 570, f_3=8
    • Classe 4: 570 \vdash 610, f_4=3
    • Classe 5: 610 \vdash 650, f_5=2
  • Total: n=\sum_{k=1}^{5} f_k = 20.
O que o enunciado pede:
(a) A amplitude de cada classe.
(b) Calcular a média e a mediana, apresentando fórmulas e todos os cálculos.
(c) Em que classe se encontra a moda?
(d) Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão, com fórmulas e cálculos.
(e) Determinar Q_1, Q_2 (mediana) e Q_3 e, com base nisso, construir o box-plot (darei o resumo numérico para o box-plot).
Observações iniciais úteis antes de calcular:
  • Vou usar como representante de cada classe o ponto médio x_k da classe k.
  • A amplitude (largura) de classe vou chamar de h.
  • Todas as fórmulas usadas serão explicitadas quando aplicadas.

Passo 2

(a) Calcular a amplitude de cada classe.
A amplitude h de uma classe é dada por diferença entre os limites superior e inferior da classe. Por exemplo, para a primeira classe:
h = 490 - 450 = 40.
Verificando as demais classes (490 a 530, 530 a 570, 570 a 610, 610 a 650), todas têm diferença igual a 40. Portanto:
Resultado:
\text{Amplitude de cada classe } h = 40.

Passo 3

(b) Calcular a média aritmética (dados agrupados) — teoria curta e aplicação passo a passo.
Teoria / fórmula:
A média para dados organizados em classes é
\bar{x} = \frac{\sum_{k=1}^{K} f_k x_k}{n},
onde x_k é o ponto médio da classe k, f_k é a frequência da classe k e n é o total das frequências.
Passo a passo para calcular:
  1. Calcular os pontos médios x_k de cada classe:
    • x_1 = \dfrac{450+490}{2} = 470.
    • x_2 = \dfrac{490+530}{2} = 510.
    • x_3 = \dfrac{530+570}{2} = 550.
    • x_4 = \dfrac{570+610}{2} = 590.
    • x_5 = \dfrac{610+650}{2} = 630.
  2. Calcular f_k x_k para cada classe:
    • f_1 x_1 = 2\cdot470 = 940.
    • f_2 x_2 = 5\cdot510 = 2550.
    • f_3 x_3 = 8\cdot550 = 4400.
    • f_4 x_4 = 3\cdot590 = 1770.
    • f_5 x_5 = 2\cdot630 = 1260.
  3. Somar:
\sum_{k=1}^{5} f_k x_k = 940 + 2550 + 4400 + 1770 + 1260 = 10920.
  1. Dividir por n=20:
\bar{x} = \frac{10920}{20} = 546.
Interpretação rápida e dica de prova: a média estimada com dados agrupados usa pontos médios; é uma aproximação dos valores reais dentro de cada classe, mas é a maneira padrão quando só temos classes.

Passo 4

(b) Calcular a mediana — teoria, identificação da posição e interpolação (passo a passo).
Teoria / ideia geral:
  • Com n dados ordenados, a mediana é o valor central. Para dados agrupados, localiza-se a classe que contém a posição central e faz-se uma interpolação linear dentro dessa classe.
  • Como n=20 é par, as posições centrais são n/2 = 10 e n/2+1 = 11. A mediana será a média dos valores estimados correspondentes a essas duas posições.
  • A fórmula indicada no enunciado para os dois elementos centrais (interpolação) é:
x_{c1} = L_{\text{inferior}}^{\,k} + \left(\frac{n}{2} - F_{\text{ant}} - 1\right)\frac{h}{f_k},
x_{c2} = L_{\text{inferior}}^{\,k} + \left(\frac{n}{2} - F_{\text{ant}}\right)\frac{h}{f_k},
onde L_{\text{inferior}}^{\,k} é o limite inferior da classe k que contém as posições (o k-ésimo intervalo), F_{\text{ant}} é a frequência acumulada antes dessa classe, f_k a frequência da classe e h a amplitude.
Passo a passo para identificar a classe que contém as posições 10 e 11:
  • Frequências cumulativas:
    • após classe 1: 2
    • após classe 2: 2+5=7
    • após classe 3: 7+8=15
    • após classe 4: 15+3=18
    • após classe 5: 18+2=20
As posições 10 e 11 estão na classe 3 ( 530 \vdash 570), porque a classe 3 contém as observações de posição 8 até 15 (já que a acumulada antes é 7 e depois é 15).
Agora aplicar as fórmulas (classe k=3):
  • L_{\text{inferior}}^{\,3} = 530.
  • F_{\text{ant}} = frequência acumulada antes da classe 3 =7.
  • f_3 = 8.
  • h = 40.
  • n/2 = 10.
Calcular x_{c1} (posição 10):
x_{c1} = 530 + \left(10 - 7 - 1\right)\frac{40}{8} = 530 + (2)\cdot5 = 530 + 10 = 540.
Calcular x_{c2} (posição 11):
x_{c2} = 530 + \left(10 - 7\right)\frac{40}{8} = 530 + (3)\cdot5 = 530 + 15 = 545.
Mediana (média dos dois elementos centrais):
\text{Mediana} = \frac{x_{c1} + x_{c2}}{2} = \frac{540 + 545}{2} = 542{,}5.
Comentário amigo: é uma interpolação que assume distribuição uniforme dentro da classe; por isso usamos proporção entre posição dentro da classe e frequência da classe.

Passo 5

(c) Localizar a moda (classe modal).
Teoria curta:
  • A moda (em dados agrupados) está na classe com maior frequência absoluta f_k. Essa classe é chamada de classe modal. (Existe fórmula para estimar o valor da moda dentro da classe modal por interpolação, mas o enunciado pede apenas em que classe ela se encontra.)
Aplicação:
  • Frequências: 2,5,8,3,2. A maior é 8, que corresponde à classe 530 \vdash 570.
Portanto:
\text{Moda está na classe } 530 \vdash 570.á

Passo 6

(d) Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão — teoria e cálculos.
Teorias / fórmulas usadas (para dados agrupados, usando pontos médios x_k):
  • Desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média):
\text{DM} = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K} f_k \left|x_k - \bar{x}\right|.
  • Variância populacional (usando 1/n, já que estamos usando toda a população de 20 times):
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{K} f_k \left(x_k - \bar{x}\right)^2.
  • Desvio padrão:
\sigma = \sqrt{\sigma^2}.
Já temos \bar{x}=546 e os pontos médios x_k. Vou calcular desvios, valores absolutos e quadrados:
  1. Cálculo dos desvios e produtos:
Classe 1 ( x_1=470,\\ f_1=2):
x_1 - \bar{x} = 470 - 546 = -76,\quad |x_1-\bar{x}|=76,\quad (x_1-\bar{x})^2 = 76^2 = 5776.
Contribuições:
f_1 |x_1-\bar{x}| = 2\cdot76 = 152,\qquad f_1 (x_1-\bar{x})^2 = 2\cdot5776 = 11552.
Classe 2 ( x_2=510,\\ f_2=5):
x_2 - \bar{x} = 510 - 546 = -36,\quad |x_2-\bar{x}|=36,\quad (x_2-\bar{x})^2 = 36^2 = 1296.
Contribuições:
f_2 |x_2-\bar{x}| = 5\cdot36 = 180,\qquad f_2 (x_2-\bar{x})^2 = 5\cdot1296 = 6480.
Classe 3 ( x_3=550,\\ f_3=8):
x_3 - \bar{x} = 550 - 546 = 4,\quad |x_3-\bar{x}|=4,\quad (x_3-\bar{x})^2 = 4^2 = 16.
Contribuições:
f_3 |x_3-\bar{x}| = 8\cdot4 = 32,\qquad f_3 (x_3-\bar{x})^2 = 8\cdot16 = 128.
Classe 4 ( x_4=590,\\ f_4=3):
x_4 - \bar{x} = 590 - 546 = 44,\quad |x_4-\bar{x}|=44,\quad (x_4-\bar{x})^2 = 44^2 = 1936.
Contribuições:
f_4 |x_4-\bar{x}| = 3\cdot44 = 132,\qquad f_4 (x_4-\bar{x})^2 = 3\cdot1936 = 5808.
Classe 5 ( x_5=630,\\ f_5=2):
x_5 - \bar{x} = 630 - 546 = 84,\quad |x_5-\bar{x}|=84,\quad (x_5-\bar{x})^2 = 84^2 = 7056.
Contribuições:
f_5 |x_5-\bar{x}| = 2\cdot84 = 168,\qquad f_5 (x_5-\bar{x})^2 = 2\cdot7056 = 14112.
  1. Somar contribuições:
Soma dos f_k |x_k-\bar{x}|:
152 + 180 + 32 + 132 + 168 = 664.
Soma dos f_k (x_k - \bar{x})^2:
11552 + 6480 + 128 + 5808 + 14112 = 38080.
  1. Calcular desvio médio:
\text{DM} = \frac{664}{20} = 33{,}2.
  1. Calcular variância:
\sigma^2 = \frac{38080}{20} = 1904.
  1. Calcular desvio padrão:
\sigma = \sqrt{1904} \approx 43{,}63.
(raiz calculada: 43{,}63 arredondado duas casas decimais).
Resumindo os resultados (numéricos):
  • Desvio médio: \text{DM} = 33{,}2.
  • Variância: \sigma^2 = 1904.
  • Desvio padrão: \sigma \approx 43{,}63.

Passo 7

(e) Quartis Q_1, Q_2 e Q_3 e construção do box-plot (resumo numérico).
Teoria / procedimento de interpolação:
  • Para um quantil de ordem p (por exemplo p=\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{2}, \tfrac{3}{4}), a posição na lista ordenada é p\cdot n. Para dados agrupados, identifica-se a classe que contém essa posição e faz-se interpolação linear:
Q_p = L_{\text{inferior}}^{\,k} + \left(\frac{p\cdot n - F_{\text{ant}}}{f_k}\right) h,
onde F_{\text{ant}} é a frequência acumulada antes da classe k, f_k a frequência dessa classe, h a amplitude.
Aplicação aos quartis com n=20:
  • Q_1: posição p n = \tfrac{1}{4}\cdot 20 = 5.
    • A posição 5 está na classe 2 ( 490 \vdash 530), porque acumulada antes da classe 2 é 2 e após é 7.
    • L_{\text{inf}}^{(2)} = 490, F_{\text{ant}}=2, f_2=5, h=40.
    Q_1 = 490 + \left(\frac{5-2}{5}\right)40 = 490 + \frac{3}{5}\cdot40 = 490 + 24 = 514.
  • Q_2 é a mediana já calculada:
    Q_2 = 542{,}5.
  • Q_3: posição p n = \tfrac{3}{4}\cdot 20 = 15.
    • A posição 15 está na classe 3 ( 530 \vdash 570), pois acumulada antes é 7 e após é 15 (logo a posição 15 é o último elemento estimado dessa classe).
    • L_{\text{inf}}^{(3)} = 530, F_{\text{ant}}=7, f_3=8, h=40.
    Q_3 = 530 + \left(\frac{15 - 7}{8}\right)40 = 530 + \frac{8}{8}\cdot40 = 530 + 40 = 570.
Como construir o box-plot (resumo prático para a prova):
  • Cinco números para o box-plot (five-number summary): mínimo, Q_1, mediana, Q_3, máximo.
  • Com os dados agrupados, usamos os limites extremo conhecidos: mínimo aproximado =450 (limite inferior da primeira classe) e máximo aproximado =650 (limite superior da última classe).
  • Portanto os números são:
    • Min = 450
    • Q_1 = 514
    • Mediana Q_2 = 542{,}5
    • Q_3 = 570
    • Max = 650
Na prova basta desenhar um retângulo (box) entre Q_1 e Q_3, traçar uma linha vertical no interior do box em 542{,}5 e colocar “bigodinhos” (whiskers) até 450 e 650.

Resposta

(a) h = 40
(b) \bar{x} = 546
\text{Mediana} = 542{,}5
(c) A moda encontra-se na classe 530 \vdash 570
(d) \text{Desvio médio} = 33{,}2é
\text{Variância} = 1904â
\text{Desvio padrão} \approx 43{,}63ã
(e) Q_1 = 514
Q_2 = 542{,}5
Q_3 = 570
Box-plot (five-number summary): Min = 450, Q_1 = 514, Mediana = 542{,}5, Q_3 = 570, Max = 650

Exercícios relacionados