Em um campeonato de futebol foram calculadas a quantidade de faltas cometidas por cada um dos 20 times participantes. Era de interesse da organização do campeonato entender a frequência de ocorrência de certas quantidades de faltas pelos times, por isso, os dados foram organizados na tabela de distribuição de frequências em classes a seguir.
Table 1: Tabela 1: Frequência de faltas cometidas pelos times do campeonato de futebol em questão.\captionsetup{labelformat=empty}
Faltas
Quantidades de times
2
5
8
3
2
Total
20
(a) Qual a amplitude de cada classe?
(b) Calcule a média e mediana? Apresente todos os cálculos e formulário teórico utilizado.
Fórmulas:
Média para dados organizados em classe:
em que
é quantidade de classes,
é a frequência da classe
é o ponto médio da classe
e
é a soma das frequências.
Mediana para dados organizados em classe:
Primeiro achar a posição da mediana e depois realizar interpolação. Se
for ímpar: A posição da mediana é
e se
for a mediana é dada pela média dos elementos centrais, isto é, pela média de
. Encontradas a posições é preciso determinar em quais classes se encontram tais posições. Se
for ímpar, a mediana via interpolação é dada por
Se
for par, a mediana é dada fazendo a média entre os dois elementos centrais
e
, ou seja,
Para encontrar os dois elementos centrais, devemos utilizar interpolação linear:
e
,
em que
é a frequência acumulada da classe anterior a classe
;
é a frequência absoluta da classe que se encontra o elemento de interesse (ou o primeiro elemento central ou o segundo elemento central),
é a amplitude da classe
é a soma das frequências absolutas.
(c) Em que classe se encontra a moda?
(d) Calcule o desvio médio, a variância e o desvio padrão. Apresente todos os cálculos e o formulário teórico utilizado.
(e) Determine os valores do primeiro, segundo e terceiro quartis. Com bases nos resultados calculados, construa o box plot.
Table 1: Tabela 1: Frequência de faltas cometidas pelos times do campeonato de futebol em questão.
\captionsetup{labelformat=empty}
| Faltas | Quantidades de times
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|
8 |
|
|
3 |
|
|
2 |
| Total | 20 |
(b) Calcule a média e mediana? Apresente todos os cálculos e formulário teórico utilizado.
em que
(c) Em que classe se encontra a moda?
(d) Calcule o desvio médio, a variância e o desvio padrão. Apresente todos os cálculos e o formulário teórico utilizado.
(e) Determine os valores do primeiro, segundo e terceiro quartis. Com bases nos resultados calculados, construa o box plot.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com calma (respira — a gente resolve isso juntos).
Dados fornecidos (peguei estes números do enunciado):
- Classes de faltas e suas frequências:
- Classe 1:
, - Classe 2:
, - Classe 3:
, - Classe 4:
, - Classe 5:
,
- Classe 1:
- Total:
.
O que o enunciado pede:
(a) A amplitude de cada classe.
(b) Calcular a média e a mediana, apresentando fórmulas e todos os cálculos.
(c) Em que classe se encontra a moda?
(d) Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão, com fórmulas e cálculos.
(e) Determinar ,
(mediana) e
e, com base nisso, construir o box-plot (darei o resumo numérico para o box-plot).
(a) A amplitude de cada classe.
(b) Calcular a média e a mediana, apresentando fórmulas e todos os cálculos.
(c) Em que classe se encontra a moda?
(d) Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão, com fórmulas e cálculos.
(e) Determinar
Observações iniciais úteis antes de calcular:
- Vou usar como representante de cada classe o ponto médio
da classe . - A amplitude (largura) de classe vou chamar de
. - Todas as fórmulas usadas serão explicitadas quando aplicadas.
Passo 2
(a) Calcular a amplitude de cada classe.
A amplitude
de uma classe é dada por diferença entre os limites superior e inferior da classe. Por exemplo, para a primeira classe:
Verificando as demais classes (490 a 530, 530 a 570, 570 a 610, 610 a 650), todas têm diferença igual a
. Portanto:
Resultado:
Passo 3
(b) Calcular a média aritmética (dados agrupados) — teoria curta e aplicação passo a passo.
Teoria / fórmula:
A média para dados organizados em classes é
A média para dados organizados em classes é
onde
é o ponto médio da classe
,
é a frequência da classe
e
é o total das frequências.
Passo a passo para calcular:
-
Calcular os pontos médios
de cada classe: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Calcular
para cada classe: -
. -
. -
. -
. -
.
-
-
Somar:
- Dividir por
:
Interpretação rápida e dica de prova: a média estimada com dados agrupados usa pontos médios; é uma aproximação dos valores reais dentro de cada classe, mas é a maneira padrão quando só temos classes.
Passo 4
(b) Calcular a mediana — teoria, identificação da posição e interpolação (passo a passo).
Teoria / ideia geral:
- Com
dados ordenados, a mediana é o valor central. Para dados agrupados, localiza-se a classe que contém a posição central e faz-se uma interpolação linear dentro dessa classe. - Como
é par, as posições centrais são e . A mediana será a média dos valores estimados correspondentes a essas duas posições. - A fórmula indicada no enunciado para os dois elementos centrais (interpolação) é:
onde
é o limite inferior da classe
que contém as posições (o
-ésimo intervalo),
é a frequência acumulada antes dessa classe,
a frequência da classe e
a amplitude.
Passo a passo para identificar a classe que contém as posições 10 e 11:
- Frequências cumulativas:
- após classe 1:
- após classe 2:
- após classe 3:
- após classe 4:
- após classe 5:
- após classe 1:
As posições 10 e 11 estão na classe 3 (
), porque a classe 3 contém as observações de posição 8 até 15 (já que a acumulada antes é 7 e depois é 15).
Agora aplicar as fórmulas (classe
):
-
. -
frequência acumulada antes da classe 3 . -
. -
. -
.
Calcular
(posição 10):
Calcular
(posição 11):
Mediana (média dos dois elementos centrais):
Comentário amigo: é uma interpolação que assume distribuição uniforme dentro da classe; por isso usamos proporção entre posição dentro da classe e frequência da classe.
Passo 5
(c) Localizar a moda (classe modal).
Teoria curta:
- A moda (em dados agrupados) está na classe com maior frequência absoluta
. Essa classe é chamada de classe modal. (Existe fórmula para estimar o valor da moda dentro da classe modal por interpolação, mas o enunciado pede apenas em que classe ela se encontra.)
Aplicação:
- Frequências:
. A maior é , que corresponde à classe .
Portanto:
Passo 6
(d) Calcular o desvio médio, a variância e o desvio padrão — teoria e cálculos.
Teorias / fórmulas usadas (para dados agrupados, usando pontos médios
):
- Desvio médio (média dos desvios absolutos em relação à média):
- Variância populacional (usando
, já que estamos usando toda a população de 20 times):
- Desvio padrão:
Já temos
e os pontos médios
. Vou calcular desvios, valores absolutos e quadrados:
- Cálculo dos desvios e produtos:
Classe 1 (
):
Contribuições:
Classe 2 (
):
Contribuições:
Classe 3 (
):
Contribuições:
Classe 4 (
):
Contribuições:
Classe 5 (
):
Contribuições:
- Somar contribuições:
Soma dos
:
Soma dos
:
- Calcular desvio médio:
- Calcular variância:
- Calcular desvio padrão:
(raiz calculada:
arredondado duas casas decimais).
Resumindo os resultados (numéricos):
- Desvio médio:
. - Variância:
. - Desvio padrão:
.
Passo 7
(e) Quartis
,
e
e construção do box-plot (resumo numérico).
Teoria / procedimento de interpolação:
- Para um quantil de ordem
(por exemplo ), a posição na lista ordenada é . Para dados agrupados, identifica-se a classe que contém essa posição e faz-se interpolação linear:
onde
é a frequência acumulada antes da classe
,
a frequência dessa classe,
a amplitude.
Aplicação aos quartis com
:
-
: posição . - A posição 5 está na classe 2 (
), porque acumulada antes da classe 2 é e após é . -
, , , .
- A posição 5 está na classe 2 (
-
é a mediana já calculada: -
: posição . - A posição 15 está na classe 3 (
), pois acumulada antes é e após é (logo a posição 15 é o último elemento estimado dessa classe). -
, , , .
- A posição 15 está na classe 3 (
Como construir o box-plot (resumo prático para a prova):
- Cinco números para o box-plot (five-number summary): mínimo,
, mediana, , máximo. - Com os dados agrupados, usamos os limites extremo conhecidos: mínimo aproximado
(limite inferior da primeira classe) e máximo aproximado (limite superior da última classe). - Portanto os números são:
- Min =
-
- Mediana
-
- Max =
- Min =
Na prova basta desenhar um retângulo (box) entre
e
, traçar uma linha vertical no interior do box em
e colocar “bigodinhos” (whiskers) até 450 e 650.
Resposta
(a)
(b)
(c) A moda encontra-se na classe
(d)
(e)
Box-plot (five-number summary): Min =
,
, Mediana =
,
, Max =