Vamos analisar a distribuição de streams mensais (em milhões) de 40 artistas selecionados, utilizando conceitos de densidade de frequência para classes de amplitudes diferentes.
Preencha a tabela abaixo com base nas frequências absolutas fornecidas:
Classe (milhões)
Amplitude
Freq. Absoluta (
)
Freq. Relativa (%)
Densidade (
)
[0,100)
8
[100, 200)
12
14
[400, 800)
6
Questões
(a) Quantas classes existem nesta distribuição? Qual é a amplitude (
) de cada uma delas?
(b) O gráfico gerado por estes dados apresenta amplitudes entre classes iguais ou diferentes? O que isso implica para a construção de um histograma?
(c) Complete a tabela acima calculando a frequência relativa percentual e a densidade de cada classe.
(d) Desenhe o histograma utilizando a densidade no eixo vertical.
(e) Se você construísse o histograma utilizando apenas a frequência absoluta (
) no eixo vertical, qual seria o erro conceitual ao observar a classe
em comparação com a classe
?
Preencha a tabela abaixo com base nas frequências absolutas fornecidas:
| Classe (milhões) | Amplitude
|
Freq. Absoluta (
|
Freq. Relativa (%) | Densidade (
|
| [0,100) | 8 | |||
| [100, 200) | 12 | |||
|
|
14 | |||
| [400, 800) | 6 |
(b) O gráfico gerado por estes dados apresenta amplitudes entre classes iguais ou diferentes? O que isso implica para a construção de um histograma?
(c) Complete a tabela acima calculando a frequência relativa percentual e a densidade de cada classe.
(d) Desenhe o histograma utilizando a densidade no eixo vertical.
(e) Se você construísse o histograma utilizando apenas a frequência absoluta (
Passo 1
O enunciado dá uma distribuição de streams mensais (em milhões) em 40 artistas, organizada em classes com suas frequências absolutas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos (peguei as frequências do enunciado).
Dados fornecidos (classes e frequências absolutas):
- Classe
com . - Classe
com . - Classe
com . - Classe
com .
Informações úteis imediatas:
- Total de observações
(informado pelo enunciado). - Cada classe tem uma amplitude
que precisamos determinar.
Perguntas do enunciado:
(a) Quantas classes existem? Qual é a amplitude de cada uma?
(b) As amplitudes entre classes são iguais ou diferentes? O que isso implica para o histograma?
(c) Completar a tabela: calcular frequência relativa percentual e densidade de cada classe.
(d) Desenhar o histograma usando a densidade no eixo vertical.
(e) Se usássemos frequência absoluta no eixo vertical, qual o erro conceitual ao comparar com
?
(a) Quantas classes existem? Qual é a amplitude
(b) As amplitudes entre classes são iguais ou diferentes? O que isso implica para o histograma?
(c) Completar a tabela: calcular frequência relativa percentual e densidade
(d) Desenhar o histograma usando a densidade no eixo vertical.
(e) Se usássemos frequência absoluta no eixo vertical, qual o erro conceitual ao comparar
Passo 2
Determinar as amplitudes
de cada classe (a resposta à parte (a)). Aqui a amplitude é simplesmente a largura do intervalo em milhões. Vou calcular cada uma subtraindo os limites da classe:
Portanto as amplitudes são
,
,
e
.
Passo 3
Explicar o conceito de frequência relativa percentual e de densidade, e as fórmulas que vou usar (didático e passo a passo).
- Frequência relativa percentual: é a proporção de observações na classe em relação ao total, multiplicada por
. Fórmula:
Aqui
é a frequência absoluta da classe e
é o total (aqui
).
- Densidade (para histogramas com classes de larguras diferentes): é a frequência absoluta dividida pela amplitude da classe:
Unidade:
(porque
é número de artistas e
está em milhões).
Importante explicar por que usar densidade: num histograma correto a área do retângulo correspondente a uma classe deve ser proporcional à frequência (ou probabilidade) dessa classe. Se a base do retângulo tem largura
e a altura é a densidade
, então a área é
ou seja, área = frequência absoluta (ou, se dividir por
, área = frequência relativa). Assim a comparação entre classes fica correta mesmo que as larguras sejam diferentes.
Passo 4
Calcular a frequência relativa percentual de cada classe (parte de (c)), fazendo as contas passo a passo.
Para a classe 1:
Para a classe 2:
Para a classe 3:
Para a classe 4:
Então as frequências relativas percentuais são
,
,
e
.
Passo 5
Calcular a densidade
de cada classe (continuação de (c)), mostrando a conta e o resultado com vírgula decimal:
Para a classe
:
Para a classe
:
Para a classe
:
Para a classe
:
Verificação rápida (confortante): a área de cada retângulo (densidade
largura) deve retornar
:
Perfeito — as áreas correspondem às frequências.
Passo 6
Responder (b) e explicar as implicações para o histograma de forma didática.
Observação direta: as amplitudes entre classes são diferentes. Especificamente:
- Duas primeiras classes têm amplitude
, - a terceira tem amplitude
, - a quarta tem amplitude
.
Implicação para o histograma: como as larguras são diferentes, não se deve usar a frequência absoluta
diretamente como altura das barras. Se usássemos
como altura, barras mais largas teriam área maior simplesmente por serem largas, o que distorce a representação. O procedimento correto é usar a densidade
como altura; assim a área de cada barra representa corretamente a frequência da classe. Em termos práticos: eixo vertical = densidade; largura = amplitude; área = frequência.
Passo 7
Instruções claras para desenhar o histograma usando densidade (parte (d)) — descrição passo a passo para que possa reproduzir na prova sem ferramenta:
- No eixo horizontal (eixo
), marque os limites das classes em milhões: . - Para cada intervalo:
- Desenhe um retângulo que se estende sobre a base do intervalo (por exemplo,
usa a base de até ). - A altura do retângulo é a densidade calculada para aquela classe:
- Para
altura . - Para
altura . - Para
altura . - Para
altura .
- Para
- Desenhe um retângulo que se estende sobre a base do intervalo (por exemplo,
- Rotule o eixo vertical como “densidade (artistas por milhão)” e marque as escalas de forma adequada (por exemplo 0,00; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10; 0,12).
- Confirme visualmente que as áreas dos retângulos (largura × altura) são respectivamente
(ou, se preferir, dividindo por , as áreas somam a 1 quando usar densidade relativa — mas aqui trabalhamos com densidade absoluta).
Essas instruções permitem desenhar um histograma correto em papel: barras de diferentes larguras, alturas iguais às densidades dadas.
Passo 8
Responder (e) mostrando numericamente o erro conceitual ao usar frequência absoluta como altura.
Se usarmos
como altura, a área “aparente” de cada classe seria
Calculemos para as duas classes comparadas:
- Para
: - Para
:
Interpretação do erro: apesar de a classe
ter menos artistas (
) do que
(
), se colocarmos
na altura a área do retângulo de
ficaria muito maior (2400 contra 800), sugerindo falsamente que há muito mais “massa” ali. Ou seja: usar
na altura inflaciona a representatividade das classes largas. Por isso é conceitualmente errado — o correto é usar a densidade para que a área represente a frequência real.
Resposta
(a) Existem 4 classes. As amplitudes são
,
,
,
.
(b) As amplitudes são diferentes (100, 100, 200, 400). Isso implica que, para construir o histograma corretamente, deve-se usar a densidade no eixo vertical para que a área de cada barra represente a frequência.
(c) Tabela completada (freq. relativa % e densidade ):
:
, freq. rel.
, densidade
.
:
, freq. rel.
, densidade
.
:
, freq. rel.
, densidade
.
:
, freq. rel.
, densidade
.
(d) Histograma (instruções de desenho): retângulos sobre os intervalos com alturas
,
,
,
respectivamente; eixo vertical = densidade (artistas por milhão); áreas das barras =
.
(e) Erro conceitual: usar frequência absoluta na altura faz com que a área das barras seja
. Comparando
e
isso dá
vs
, fazendo a classe larga parecer muito mais representativa mesmo tendo menos artistas (6 < 8); por isso esse procedimento distorce a interpretação.
(b) As amplitudes são diferentes (100, 100, 200, 400). Isso implica que, para construir o histograma corretamente, deve-se usar a densidade
(c) Tabela completada (freq. relativa % e densidade
(d) Histograma (instruções de desenho): retângulos sobre os intervalos
(e) Erro conceitual: usar frequência absoluta