Vamos analisar a distribuição de streams mensais (em milhões) de 40 artistas selecionados, utilizando conceitos de densidade de frequência para classes de amplitudes diferentes.
Preencha a tabela abaixo com base nas frequências absolutas fornecidas:
Classe (milhões) Amplitude \left(h_{i}\right) Freq. Absoluta ( f_{i} ) Freq. Relativa (%) Densidade ( f_{i} / h_{i} )
[0,100) 8
[100, 200) 12
[200,400) 14
[400, 800) 6

Questões

(a) Quantas classes existem nesta distribuição? Qual é a amplitude ( h_{i} ) de cada uma delas?
(b) O gráfico gerado por estes dados apresenta amplitudes entre classes iguais ou diferentes? O que isso implica para a construção de um histograma?
(c) Complete a tabela acima calculando a frequência relativa percentual e a densidade de cada classe.
(d) Desenhe o histograma utilizando a densidade no eixo vertical.
(e) Se você construísse o histograma utilizando apenas a frequência absoluta ( f_{i} ) no eixo vertical, qual seria o erro conceitual ao observar a classe [400,800) em comparação com a classe [0,100) ?

Passo 1

O enunciado dá uma distribuição de streams mensais (em milhões) em 40 artistas, organizada em classes com suas frequências absolutas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos (peguei as frequências do enunciado).
Dados fornecidos (classes e frequências absolutas):
  • Classe [0,100) com f_1=8.
  • Classe [100,200) com f_2=12.
  • Classe [200,400) com f_3=14.
  • Classe [400,800) com f_4=6.
Informações úteis imediatas:
  • Total de observações N = 40 (informado pelo enunciado).
  • Cada classe tem uma amplitude h_i que precisamos determinar.
Perguntas do enunciado:
(a) Quantas classes existem? Qual é a amplitude h_i de cada uma?
(b) As amplitudes entre classes são iguais ou diferentes? O que isso implica para o histograma?
(c) Completar a tabela: calcular frequência relativa percentual e densidade f_i/h_i de cada classe.
(d) Desenhar o histograma usando a densidade no eixo vertical.
(e) Se usássemos frequência absoluta no eixo vertical, qual o erro conceitual ao comparar [400,800) com [0,100)?

Passo 2

Determinar as amplitudes h_i de cada classe (a resposta à parte (a)). Aqui a amplitude é simplesmente a largura do intervalo em milhões. Vou calcular cada uma subtraindo os limites da classe:
\text{Para }[0,100):\quad h_1 = 100-0 = 100.
\text{Para }[100,200):\quad h_2 = 200-100 = 100.
\text{Para }[200,400):\quad h_3 = 400-200 = 200.
\text{Para }[400,800):\quad h_4 = 800-400 = 400.
Portanto as amplitudes são h_1=100, h_2=100, h_3=200 e h_4=400.

Passo 3

Explicar o conceito de frequência relativa percentual e de densidade, e as fórmulas que vou usar (didático e passo a passo).
  • Frequência relativa percentual: é a proporção de observações na classe em relação ao total, multiplicada por 100. Fórmula:
\text{freq rel percentual} = \frac{f_i}{N}\times 100\%.
Aqui f_i é a frequência absoluta da classe e N é o total (aqui N=40).
  • Densidade (para histogramas com classes de larguras diferentes): é a frequência absoluta dividida pela amplitude da classe:
\text{densidade}_i = \frac{f_i}{h_i}.
Unidade: \text{artistas por milhão}ã (porque f_i é número de artistas e h_i está em milhões).
Importante explicar por que usar densidade: num histograma correto a área do retângulo correspondente a uma classe deve ser proporcional à frequência (ou probabilidade) dessa classe. Se a base do retângulo tem largura h_i e a altura é a densidade \dfrac{f_i}{h_i}, então a área é
\text{área}_i = h_i \times \frac{f_i}{h_i} = f_i,á
ou seja, área = frequência absoluta (ou, se dividir por N, área = frequência relativa). Assim a comparação entre classes fica correta mesmo que as larguras sejam diferentes.

Passo 4

Calcular a frequência relativa percentual de cada classe (parte de (c)), fazendo as contas passo a passo.
Para a classe 1:
\frac{f_1}{N}=\frac{8}{40}=0,2 \quad\Rightarrow\quad 0,2\times100\%=20\%.
Para a classe 2:
\frac{f_2}{N}=\frac{12}{40}=0,3 \quad\Rightarrow\quad 30\%.
Para a classe 3:
\frac{f_3}{N}=\frac{14}{40}=0,35 \quad\Rightarrow\quad 35\%.
Para a classe 4:
\frac{f_4}{N}=\frac{6}{40}=0,15 \quad\Rightarrow\quad 15\%.
Então as frequências relativas percentuais são 20\%, 30\%, 35\% e 15\%.

Passo 5

Calcular a densidade f_i/h_i de cada classe (continuação de (c)), mostrando a conta e o resultado com vírgula decimal:
Para a classe [0,100):
\text{densidade}_1=\frac{f_1}{h_1}=\frac{8}{100}=0,08\quad(\text{artistas por milhão}).ã
Para a classe [100,200):
\text{densidade}_2=\frac{12}{100}=0,12.
Para a classe [200,400):
\text{densidade}_3=\frac{14}{200}=0,07.
Para a classe [400,800):
\text{densidade}_4=\frac{6}{400}=0,015.
Verificação rápida (confortante): a área de cada retângulo (densidade \times largura) deve retornar f_i:
100\times0,08=8,\quad 100\times0,12=12,\quad 200\times0,07=14,\quad 400\times0,015=6.
Perfeito — as áreas correspondem às frequências.

Passo 6

Responder (b) e explicar as implicações para o histograma de forma didática.
Observação direta: as amplitudes entre classes são diferentes. Especificamente:
  • Duas primeiras classes têm amplitude 100,
  • a terceira tem amplitude 200,
  • a quarta tem amplitude 400.
Implicação para o histograma: como as larguras são diferentes, não se deve usar a frequência absoluta f_i diretamente como altura das barras. Se usássemos f_i como altura, barras mais largas teriam área maior simplesmente por serem largas, o que distorce a representação. O procedimento correto é usar a densidade f_i/h_i como altura; assim a área de cada barra representa corretamente a frequência da classe. Em termos práticos: eixo vertical = densidade; largura = amplitude; área = frequência.

Passo 7

Instruções claras para desenhar o histograma usando densidade (parte (d)) — descrição passo a passo para que possa reproduzir na prova sem ferramenta:
  1. No eixo horizontal (eixo x), marque os limites das classes em milhões: 0,100,200,400,800.
  2. Para cada intervalo:
    • Desenhe um retângulo que se estende sobre a base do intervalo (por exemplo, [0,100) usa a base de x=0 até x=100).
    • A altura do retângulo é a densidade calculada para aquela classe:
      • Para [0,100) altura 0,08.
      • Para [100,200) altura 0,12.
      • Para [200,400) altura 0,07.
      • Para [400,800) altura 0,015.
  3. Rotule o eixo vertical como “densidade (artistas por milhão)” e marque as escalas de forma adequada (por exemplo 0,00; 0,02; 0,04; 0,06; 0,08; 0,10; 0,12).
  4. Confirme visualmente que as áreas dos retângulos (largura × altura) são respectivamente 8,12,14,6 (ou, se preferir, dividindo por N=40, as áreas somam a 1 quando usar densidade relativa f_i/(N h_i) — mas aqui trabalhamos com densidade absoluta).
Essas instruções permitem desenhar um histograma correto em papel: barras de diferentes larguras, alturas iguais às densidades dadas.

Passo 8

Responder (e) mostrando numericamente o erro conceitual ao usar frequência absoluta como altura.
Se usarmos f_i como altura, a área “aparente” de cada classe seria
\text{área errada}_i = f_i \times h_i.á
Calculemos para as duas classes comparadas:
  • Para [0,100): \text{área errada}_1 = 8\times100 = 800.á
  • Para [400,800): \text{área errada}_4 = 6\times400 = 2400.á
Interpretação do erro: apesar de a classe [400,800) ter menos artistas ( 6) do que [0,100) ( 8), se colocarmos f_i na altura a área do retângulo de [400,800) ficaria muito maior (2400 contra 800), sugerindo falsamente que há muito mais “massa” ali. Ou seja: usar f_i na altura inflaciona a representatividade das classes largas. Por isso é conceitualmente errado — o correto é usar a densidade para que a área represente a frequência real.

Resposta

(a) Existem 4 classes. As amplitudes são h_1=100, h_2=100, h_3=200, h_4=400.
(b) As amplitudes são diferentes (100, 100, 200, 400). Isso implica que, para construir o histograma corretamente, deve-se usar a densidade f_i/h_i no eixo vertical para que a área de cada barra represente a frequência.
(c) Tabela completada (freq. relativa % e densidade f_i/h_i):
[0,100): f_1=8, freq. rel. 20\%, densidade 0,08.
[100,200): f_2=12, freq. rel. 30\%, densidade 0,12.
[200,400): f_3=14, freq. rel. 35\%, densidade 0,07.
[400,800): f_4=6, freq. rel. 15\%, densidade 0,015.
(d) Histograma (instruções de desenho): retângulos sobre os intervalos [0,100),(100,200),(200,400),(400,800) com alturas 0,08, 0,12, 0,07, 0,015 respectivamente; eixo vertical = densidade (artistas por milhão); áreas das barras = 8,12,14,6.
(e) Erro conceitual: usar frequência absoluta f_i na altura faz com que a área das barras seja f_i\times h_i. Comparando [0,100) e [400,800) isso dá 800 vs 2400, fazendo a classe larga parecer muito mais representativa mesmo tendo menos artistas (6 < 8); por isso esse procedimento distorce a interpretação.

Exercícios relacionados