Um grupo de 25 estudantes foi entrevistado sobre o tempo (em minutos) que levam para realizar o trajeto de suas casas até a universidade. Os dados coletados foram os seguintes:
, 160, 165, 170, 172, 175, 178, 179, 180.
(a) Organize os dados acima em uma tabela de distribuição de frequências utilizando classes com amplitude de 30 minutos. A sua tabela deve conter as seguintes colunas:
- Classes (intervalos de tempo);
- Frequência absoluta (
);
- Frequência relativa (em fração, decimal e porcentagem);
- Frequência acumulada.
(b) Com base na tabela construída, desenhe o histograma e o polígono de frequência correspondente a essa distribuição.
(c) Observe o histograma e o polígono de frequência que você construiu e responda:
- Qual classe de tempo possui a maior concentração de estudantes?
- Como você descreveria o comportamento da frequência dos dados conforme o tempo de deslocamento aumenta? O gráfico sugere que a maioria dos alunos vive perto ou longe da universidade?
- Se o tempo de deslocamento fosse representado em horas (dividindo os valores por 60), como isso afetaria a amplitude das classes e o formato do seu gráfico?
(a) Organize os dados acima em uma tabela de distribuição de frequências utilizando classes com amplitude de 30 minutos. A sua tabela deve conter as seguintes colunas:
(b) Com base na tabela construída, desenhe o histograma e o polígono de frequência correspondente a essa distribuição.
(c) Observe o histograma e o polígono de frequência que você construiu e responda:
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
tempos (em minutos):
O que é pedido:
(a) construir uma tabela de distribuição de frequências usando classes de amplitude minutos, com colunas: classes, frequência absoluta
, frequência relativa (fração, decimal e porcentagem) e frequência acumulada;
(b) desenhar o histograma e o polígono de frequência correspondentes (fornecer instruções/valores para desenhar);
(c) a partir dos gráficos responder:
(a) construir uma tabela de distribuição de frequências usando classes de amplitude
(b) desenhar o histograma e o polígono de frequência correspondentes (fornecer instruções/valores para desenhar);
(c) a partir dos gráficos responder:
- qual classe tem maior concentração de estudantes;
- descrever o comportamento das frequências quando o tempo aumenta — a maioria vive perto ou longe?;
- se transformarmos os tempos para horas (dividindo por
), como isso afeta a amplitude das classes e o formato do gráfico.
Passo 2
Decidir as classes a usar. Primeiro, cálculo do número de classes necessárias (já que a amplitude pedida é
minutos):
A amplitude dada é
. O número de classes
mínimo que cobre o intervalo é
Vou adotar a convenção “intervalo fechado à esquerda e aberto à direita”, exceto a última classe que fica fechada à direita (assim não há ambiguidade com limites exatos). Com
classes de amplitude
começando em
obtemos:
Passo 3
Contar quantos valores caem em cada classe (atribuição feita um a um, observando que peguei os dados do enunciado).
- Em
estão → . - Em
estão → . - Em
estão → . - Em
estão → . - Em
estão → .
Verificação rápida:
(confere com o total).
Agora calculo as frequências relativas e acumuladas. Para cada classe:
Cálculos:
Frequência acumulada absoluta
(soma progressiva de
):
Frequência acumulada relativa (fração/decimal/%):
Passo 4
Apresento a tabela pedida (cada linha corresponde a uma classe):
(Na prática de prova: escreva a tabela exatamente assim; os totais são
, soma das porcentagens
.)
Passo 5
Instruções e valores para desenhar o histograma:
- Eixo
: classes em minutos com amplitude (intervalos listados acima). - Eixo
: altura igual à frequência absoluta (ou à frequência relativa se preferir; como as classes têm mesma largura, usar é direto). - Barras (retângulos) para cada classe:
- Lembrete didático: já que todas as classes têm a mesma largura, o histograma pode usar frequências diretamente; se as larguras fossem diferentes haveria que usar densidade (
).
Passo 6
Instruções e valores para desenhar o polígono de frequência:
- Calcular os pontos médios (classes em minutos):
- Pontos do polígono (média da classe, frequência):
- Desenho: plote esses pontos e una-os por segmentos de reta, formando o polígono. Opcionalmente fecha-se o polígono até o eixo
nos extremos para enfatizar área, mas o essencial é ligar os pontos médios.
Passo 7
Interpretação visual dos gráficos (respostas a (c)) — vou responder item a item de forma direta e explicando por quê:
-
Qual classe tem maior concentração de estudantes?
- A classe
minutos tem estudantes ( ), ou seja, a maior concentração está na última classe (tempos entre e minutos).
- A classe
-
Como descrever o comportamento das frequências conforme o tempo aumenta? O gráfico sugere que a maioria vive perto ou longe da universidade?
- Observando os valores das frequências por classe:
, nota-se um aumento progressivo das frequências ao avançar para classes de maior tempo. Isso significa que há uma concentração maior de alunos com tempos maiores de deslocamento — ou seja, a maioria vive mais longe (tempos mais longos). Em termos de assimetria, a distribuição tem massa concentrada à direita (valores altos) com uma cauda para a esquerda (alguns poucos com tempos menores); isso é frequentemente descrito como distribuição assimétrica à esquerda (ou “skewed negativo”), indicando que muitos valores estão próximos do extremo superior do intervalo analisado.
- Observando os valores das frequências por classe:
Passo 8
Efeito de representar o tempo em horas (dividindo por
):
- Cada valor em minutos dividido por
converte para horas. A amplitude de classe em horas fica - As classes em horas (convertendo os limites) seriam:
- Sobre o formato do gráfico: a forma geral (o “perfil” do histograma e do polígono) NÃO muda — apenas o eixo
é reescalonado. As alturas das barras (frequências absolutas) permanecem as mesmas se continuar a usar como altura. Atenção: se em vez de usar contagem por classe se usar densidade (frequência por unidade de tempo), então como a largura da classe muda numericamente com a nova unidade, as alturas em densidade seriam ajustadas (mas como todas as classes são uniformes, a forma relativa continua igual). Em resumo: a escala do eixo horizontal muda (números em horas), a amplitude numérica vira hora, mas o formato do histograma/polígono permanece equivalente visualmente.
Resposta
(a) Tabela de frequências (classes em minutos,
):\newline
\newline
\newline
\newline
\newline
\newline
(b) Histograma (barras por classe, alturas = frequências):\newline
.
.
(c) Respostas:\newline
- Classe com maior concentração:
minutos ( ).\newline - Comportamento das frequências: as frequências aumentam conforme o tempo aumenta; a maioria dos alunos tende a viver mais longe (tempos maiores). A distribuição está concentrada no extremo direito (massa em tempos altos), com cauda para a esquerda (assimetria à esquerda / skew negativo).\newline
- Se passar a medir em horas: a amplitude de classe passa a ser
hora; os limites das classes mudam para cerca de . O formato do gráfico (perfil do histograma/polígono) permanece o mesmo, apenas o eixo é reescalado.)