Um grupo de 25 estudantes foi entrevistado sobre o tempo (em minutos) que levam para realizar o trajeto de suas casas até a universidade. Os dados coletados foram os seguintes:
45,52,60,68,75,82,88,95,105,112,118,125,132,140,145,150,155, 160, 165, 170, 172, 175, 178, 179, 180.
(a) Organize os dados acima em uma tabela de distribuição de frequências utilizando classes com amplitude de 30 minutos. A sua tabela deve conter as seguintes colunas:
  • Classes (intervalos de tempo);
  • Frequência absoluta ( f_{i} );
  • Frequência relativa (em fração, decimal e porcentagem);
  • Frequência acumulada.
    (b) Com base na tabela construída, desenhe o histograma e o polígono de frequência correspondente a essa distribuição.
    (c) Observe o histograma e o polígono de frequência que você construiu e responda:
  • Qual classe de tempo possui a maior concentração de estudantes?
  • Como você descreveria o comportamento da frequência dos dados conforme o tempo de deslocamento aumenta? O gráfico sugere que a maioria dos alunos vive perto ou longe da universidade?
  • Se o tempo de deslocamento fosse representado em horas (dividindo os valores por 60), como isso afetaria a amplitude das classes e o formato do seu gráfico?

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de 25 tempos (em minutos):
45,52,60,68,75,82,88,95,105,112,118,125,132,140,145,150,155,160,165,170,172,175,178,179,180.
O que é pedido:
(a) construir uma tabela de distribuição de frequências usando classes de amplitude 30 minutos, com colunas: classes, frequência absoluta f_i, frequência relativa (fração, decimal e porcentagem) e frequência acumulada;
(b) desenhar o histograma e o polígono de frequência correspondentes (fornecer instruções/valores para desenhar);
(c) a partir dos gráficos responder:
  • qual classe tem maior concentração de estudantes;
  • descrever o comportamento das frequências quando o tempo aumenta — a maioria vive perto ou longe?;
  • se transformarmos os tempos para horas (dividindo por 60), como isso afeta a amplitude das classes e o formato do gráfico.

Passo 2

Decidir as classes a usar. Primeiro, cálculo do número de classes necessárias (já que a amplitude pedida é 30 minutos):
\text{min} = 45,\qquad \text{max} = 180.
A amplitude dada é h=30. O número de classes k mínimo que cobre o intervalo é
k=\left\lceil \dfrac{\text{max}-\text{min}}{h}\right\rceil =\left\lceil \dfrac{180-45}{30}\right\rceil =\left\lceil \dfrac{135}{30}\right\rceil =\left\lceil 4{,}5\right\rceil =5.
Vou adotar a convenção “intervalo fechado à esquerda e aberto à direita”, exceto a última classe que fica fechada à direita (assim não há ambiguidade com limites exatos). Com 5 classes de amplitude 30 começando em 45 obtemos:
\begin{aligned} \text{Classe 1: }&[45,75)\\\ \text{Classe 2: }&[75,105)\\\ \text{Classe 3: }&[105,135)\\\ \text{Classe 4: }&[135,165)\\\ \text{Classe 5: }&[165,195] \end{aligned}

Passo 3

Contar quantos valores caem em cada classe (atribuição feita um a um, observando que peguei os dados do enunciado).
  • Em [45,75) estão 45,52,60,68 f_1=4.
  • Em [75,105) estão 75,82,88,95 f_2=4.
  • Em [105,135) estão 105,112,118,125,132 f_3=5.
  • Em [135,165) estão 140,145,150,155,160 f_4=5.
  • Em [165,195] estão 165,170,172,175,178,179,180 f_5=7.
Verificação rápida: 4+4+5+5+7=25 (confere com o total).
Agora calculo as frequências relativas e acumuladas. Para cada classe:
\text{frequência relativa} = \dfrac{f_i}{n},\quad n=25.ê
Cálculos:
\begin{aligned} &f_1=4,\quad \dfrac{f_1}{25}=\dfrac{4}{25}=0{,}16=16\%\\\ &f_2=4,\quad \dfrac{f_2}{25}=\dfrac{4}{25}=0{,}16=16\%\\\ &f_3=5,\quad \dfrac{f_3}{25}=\dfrac{5}{25}=0{,}20=20\%\\\ &f_4=5,\quad \dfrac{f_4}{25}=\dfrac{5}{25}=0{,}20=20\%\\\ &f_5=7,\quad \dfrac{f_5}{25}=\dfrac{7}{25}=0{,}28=28\% \end{aligned}
Frequência acumulada absoluta F_i (soma progressiva de f_i):
F_1=4,\quad F_2=8,\quad F_3=13,\quad F_4=18,\quad F_5=25.
Frequência acumulada relativa (fração/decimal/%):
\dfrac{F_1}{25}=\dfrac{4}{25}=0{,}16(16\%),\quad \dfrac{F_2}{25}=\dfrac{8}{25}=0{,}32(32\%),\quad \dfrac{F_3}{25}=\dfrac{13}{25}=0{,}52(52\%),\quad \dfrac{F_4}{25}=\dfrac{18}{25}=0{,}72(72\%),\quad \dfrac{F_5}{25}=1{,}00(100\%).

Passo 4

Apresento a tabela pedida (cada linha corresponde a uma classe):
\begin{array}{l|c|c|c|c|c} \text{Classe (min)} & f_i & \text{f relativa (fração)} & \text{f relativa (decimal)} & \text{f relativa (\%)} & F_i\\hline [45,75) & 4 & \dfrac{4}{25} & 0{,}16 & 16\% & 4\\\ [75,105) & 4 & \dfrac{4}{25} & 0{,}16 & 16\% & 8\\\ [105,135) & 5 & \dfrac{5}{25} & 0{,}20 & 20\% & 13\\\ [135,165) & 5 & \dfrac{5}{25} & 0{,}20 & 20\% & 18\\\ [165,195] & 7 & \dfrac{7}{25} & 0{,}28 & 28\% & 25 \end{array}çã
(Na prática de prova: escreva a tabela exatamente assim; os totais são n=25, soma das porcentagens =100\%.)

Passo 5

Instruções e valores para desenhar o histograma:
  • Eixo x: classes em minutos com amplitude 30 (intervalos listados acima).
  • Eixo y: altura igual à frequência absoluta f_i (ou à frequência relativa se preferir; como as classes têm mesma largura, usar f_i é direto).
  • Barras (retângulos) para cada classe: \begin{aligned} &[45,75):\\ \text{altura}=4\\\ &[75,105):\\ \text{altura}=4\\\ &[105,135):\\ \text{altura}=5\\\ &[135,165):\\ \text{altura}=5\\\ &[165,195]:\\ \text{altura}=7 \end{aligned}
  • Lembrete didático: já que todas as classes têm a mesma largura, o histograma pode usar frequências diretamente; se as larguras fossem diferentes haveria que usar densidade ( \text{densidade} = f_i/\text{largura}_i).

Passo 6

Instruções e valores para desenhar o polígono de frequência:
  • Calcular os pontos médios (classes em minutos): \begin{aligned} &m_1=\dfrac{45+75}{2}=60\\\ &m_2=\dfrac{75+105}{2}=90\\\ &m_3=\dfrac{105+135}{2}=120\\\ &m_4=\dfrac{135+165}{2}=150\\\ &m_5=\dfrac{165+195}{2}=180 \end{aligned}
  • Pontos do polígono (média da classe, frequência): (60,4),\\ (90,4),\\ (120,5),\\ (150,5),\\ (180,7).
  • Desenho: plote esses pontos e una-os por segmentos de reta, formando o polígono. Opcionalmente fecha-se o polígono até o eixo x nos extremos para enfatizar área, mas o essencial é ligar os pontos médios.

Passo 7

Interpretação visual dos gráficos (respostas a (c)) — vou responder item a item de forma direta e explicando por quê:
  • Qual classe tem maior concentração de estudantes?
    • A classe [165,195] minutos tem f_5=7 estudantes ( 28\%), ou seja, a maior concentração está na última classe (tempos entre 165 e 195 minutos).
  • Como descrever o comportamento das frequências conforme o tempo aumenta? O gráfico sugere que a maioria vive perto ou longe da universidade?
    • Observando os valores das frequências por classe: 4,4,5,5,7, nota-se um aumento progressivo das frequências ao avançar para classes de maior tempo. Isso significa que há uma concentração maior de alunos com tempos maiores de deslocamento — ou seja, a maioria vive mais longe (tempos mais longos). Em termos de assimetria, a distribuição tem massa concentrada à direita (valores altos) com uma cauda para a esquerda (alguns poucos com tempos menores); isso é frequentemente descrito como distribuição assimétrica à esquerda (ou “skewed negativo”), indicando que muitos valores estão próximos do extremo superior do intervalo analisado.

Passo 8

Efeito de representar o tempo em horas (dividindo por 60):
  • Cada valor em minutos dividido por 60 converte para horas. A amplitude de classe em horas fica \dfrac{30\\ \text{min}}{60} = 0{,}5\\ \text{h}.
  • As classes em horas (convertendo os limites) seriam: [0{,}75,1{,}25),\\ [1{,}25,1{,}75),\\ [1{,}75,2{,}25),\\ [2{,}25,2{,}75),\\ [2{,}75,3{,}25].
  • Sobre o formato do gráfico: a forma geral (o “perfil” do histograma e do polígono) NÃO muda — apenas o eixo x é reescalonado. As alturas das barras (frequências absolutas) permanecem as mesmas se continuar a usar f_i como altura. Atenção: se em vez de usar contagem por classe se usar densidade (frequência por unidade de tempo), então como a largura da classe muda numericamente com a nova unidade, as alturas em densidade seriam ajustadas (mas como todas as classes são uniformes, a forma relativa continua igual). Em resumo: a escala do eixo horizontal muda (números em horas), a amplitude numérica vira 0{,}5 hora, mas o formato do histograma/polígono permanece equivalente visualmente.

Resposta

(a) Tabela de frequências (classes em minutos, n=25):\newline
[45,75):\\ f=4,\\ f/25=\dfrac{4}{25}=0{,}16\\ (16\%),\\ F=4\newline
[75,105):\\ f=4,\\ f/25=\dfrac{4}{25}=0{,}16\\ (16\%),\\ F=8\newline
[105,135):\\ f=5,\\ f/25=\dfrac{5}{25}=0{,}20\\ (20\%),\\ F=13\newline
[135,165):\\ f=5,\\ f/25=\dfrac{5}{25}=0{,}20\\ (20\%),\\ F=18\newline
[165,195]:\\ f=7,\\ f/25=\dfrac{7}{25}=0{,}28\\ (28\%),\\ F=25\newline
(b) Histograma (barras por classe, alturas = frequências):\newline
[45,75):\\ \text{altura}=4;\\ [75,105):\\\ 4;\\ [105,135):\\\ 5;\\ [135,165):\\\ 5;\\ [165,195]:\\\ 7.\newline Polígono de frequência (pontos médios ligando por segmentos):\newline pontos \((60,4),\\ (90,4),\\ (120,5),\\ (150,5),\\ (180,7).
(c) Respostas:\newline
  • Classe com maior concentração: [165,195] minutos ( f=7,\\\ 28\% ).\newline
  • Comportamento das frequências: as frequências aumentam conforme o tempo aumenta; a maioria dos alunos tende a viver mais longe (tempos maiores). A distribuição está concentrada no extremo direito (massa em tempos altos), com cauda para a esquerda (assimetria à esquerda / skew negativo).\newline
  • Se passar a medir em horas: a amplitude de classe passa a ser 0{,}5 hora; os limites das classes mudam para cerca de [0{,}75,1{,}25),[1{,}25,1{,}75),\ldots,[2{,}75,3{,}25]. O formato do gráfico (perfil do histograma/polígono) permanece o mesmo, apenas o eixo x é reescalado.)

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