O campo F(x, y, z)=(3 x^2 z+y^3, 3 x y^2+e^z, x^3+y e^2) é conservativo? Caso F seja conservativo determine uma função potencial de F.

Passo 1

O enunciado pede para saber se o campo vec F(x,y,z)=(3x^2z+y^3,;3xy^2+e^z,;x^3+ye^z) é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=vec F. O conteúdo principal é campos vetoriais conservativos, e vamos precisar verificar se o rotor de vec F é nulo numa região simplesmente conexa (aqui ) e depois integrar componentes para achar R^3.

Passo 2

Para verificar se vec F é conservativo, calculamos o rotor nablatimesvec F. Precisamos conferir se
partial Ppartial y=partial Qpartial x, partial Ppartial z=partial Rpartial x, partial Qpartial z=partial Rpartial y
Aqui P=3x^2z+y^3, Q=3xy^2+e^z e R=x^3+ye^z. Calculando, vemos que todas essas igualdades se confirmam, logo o rotor é zero.

Passo 3

Como é simplesmente conexa e R^3, concluímos que nablatimesvec F=0 é conservativo. Agora vamos achar uma função vec F tal que
f(x,y,z)
Integrando em relação a partial fpartial x=P=3x^2z+y^3 :
x
onde f(x,y,z)=integral(3x^2z+y^3),dx=x^3z+x y^3+g(y,z), é uma função que ainda pode depender de g(y,z).

Passo 4

Para determinar g(y,z), usamos a condição
partial fpartial y=3xy^2+partial gpartial y=Q=3xy^2+e^z
Daí
partial gpartial y=e^z
e integrando em y
g(y,z)=ye^z+h(z),
com h(z) uma função só de z.

Passo 5

Finalmente, impomos
partial fpartial z=x^3+y e^z+h'(z)=R=x^3+y e^z
Logo h'(z)=0, o que implica h(z)=constante. Podemos escolher essa constante igual a zero sem perder generalidade.

Passo 6

Juntando tudo, uma função potencial válida (até constante) é
f(x,y,z)=x^3z+x y^3+y e^z

Resposta

f(x,y,z)=x^3z+x y^3+y e^z

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