O campo
é conservativo? Caso
seja conservativo determine uma função potencial de
.
Passo 1
O enunciado pede para saber se o campo
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo principal é campos vetoriais conservativos, e vamos precisar verificar se o rotor de
é nulo numa região simplesmente conexa (aqui ) e depois integrar componentes para achar
.
Passo 2
Para verificar se
é conservativo, calculamos o rotor
. Precisamos conferir se
Aqui
,
e
. Calculando, vemos que todas essas igualdades se confirmam, logo o rotor é zero.
Passo 3
Como é simplesmente conexa e
, concluímos que
é conservativo. Agora vamos achar uma função
tal que
Integrando em relação a
:
onde
é uma função que ainda pode depender de
.
Passo 4
Para determinar
, usamos a condição
Daí
e integrando em
com
uma função só de
.
Passo 5
Finalmente, impomos
Logo
, o que implica
. Podemos escolher essa constante igual a zero sem perder generalidade.
Passo 6
Juntando tudo, uma função potencial válida (até constante) é