Use o método de sua escolha para resolver as integrais seguintes:
integral arcsin xx^2 d x

Passo 1

A gente precisa calcular a integral integral arcsin xx^2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por partes (pois temos arcsin x vezes uma potência de x) e depois a resolução de uma integral do tipo integral dxxraiz1-x^2 por substituição trigonométrica.

Passo 2

Vamos escolher as partes para a fórmula de integração por partes: u = arcsin x e dv = x^-2dx. Assim derivamos du = 1raiz1-x^2,dx e integramos dv para obter v = -1x.

Passo 3

Aplicando a fórmula integral u,dv = u v - integral v,du temos:
integral arcsin xx^2,dx = -arcsin xx - integral l(-1xr)1raiz1-x^2,dx = -arcsin xx + integral dxxraiz1-x^2

Passo 4

Agora resolvemos integral dxxraiz1-x^2 usando a substituição trigonométrica x = sin t. Então dx = cos t,dt e raiz1-x^2 = cos t, e a integral vira:
integral dxxraiz1-x^2 = integral cos t,dtsin t,cos t = integral csc t,dt = lnl|tantfract2r| + C

Passo 5

Para voltar a x, note que t = arcsin x e
tant2 = 1-cos tsin t = 1-raiz1-x^2x
Substituindo na expressão obtemos a parte logarítmica em x.

Passo 6

Juntando tudo, a integral original fica:
integral arcsin xx^2,dx = -arcsin xx + ln|1-raiz1-x^2x| + C

Resposta

-arcsin xx + lnl|1-raiz1-x^2xr| + C

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