Use a fórmula de integração por partes para calcular as integrais seguintes:
integral x d xsen(x)^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral x,dxsen^2(x) usando a fórmula de integração por partes. O conteúdo aqui é “integração por partes” e vamos precisar da fórmula
integral u,dv = u,v - integral v,du
além de saber integrar csc^2(x)=1/sen^2(x).

Passo 2

Escolhemos as partes da seguinte forma: u = x e dv = dxsen^2(x) = csc^2(x),dx. Assim temos que derivar u e integrar dv.

Passo 3

Derivando u e integrando dv:
du = dx,
v = integral csc^2(x),dx = -cot(x)
Aqui usamos que a derivada de cot(x) é -csc^2(x).

Passo 4

Aplicando a integração por partes:
integral x,csc^2(x),dx = u,v - integral v,du = x,(-cot(x)) - integral (-cot(x)),dx
Simplificando:
= -xcot(x) + integral cot(x),dx

Passo 5

Agora resta calcular integral cot(x),dx. Lembrando que cot(x)=cos(x)sin(x), usamos a substituição t=sin(x), dt=cos(x),dx, logo:
integral cot(x),dx = integral cos(x)sin(x),dx = integral dtt = ln|t| + C = ln|sen(x)| + C

Passo 6

Juntando tudo temos:
integral x,dxsen^2(x) = -xcot(x) + ln|sen(x)| + C

Resposta

-x\cot(x) + \ln|\operatorname{sen}(x)| + C

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