O que é um campo conservativo? Dê um exemplo de um campo conservativo e outro que não é.

Passo 1

O enunciado pede para explicar o que é um campo conservativo e dar um exemplo de um campo que seja conservativo e outro que não seja. Vamos trabalhar no plano R^2 (ou em R^3) usando conceitos de potencial escalar e de rotação (curl).

Passo 2

Um campo vetorial Fcolon UsubseteqR^ntoR^n é dito conservativo se existe uma função escalar phicolon UtoR (chamada potencial) tal que
F = nabla phi
Isto significa que o trabalho de F ao longo de qualquer curva de ponto A até ponto B depende apenas de phi(B)-phi(A), não do caminho seguido. Em domínios simplesmente conexos em R^2 ou R^3, uma condição equivalente é
curl,F = 0

Passo 3

Exemplo de campo conservativo:
Considere
F(x,y) = (2x,,2y)
Aqui podemos definir o potencial
phi(x,y) = x^2 + y^2,
pois
nabla phi = l(partial phipartial x,,partial phipartial yr) = (2x,,2y) = F(x,y)
Logo F é conservativo.

Passo 4

Exemplo de campo não conservativo:
Considere
G(x,y) = (-y,,x)
Calculamos a rotação em R^2 (que aqui é um escalar)
curl,G = partialpartial x(x) ;-;partialpartial y(-y) = 1 - (-1) = 2 neq 0
Como curl,Gneq 0, não existe potencial phi com G=nablaphi. Logo G não é conservativo.

Resposta

Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial phi, o que garante independência de caminho e curl,F=0 em domínios apropriados.
Exemplo conservativo: F(x,y)=(2x,2y), com potencial phi(x,y)=x^2+y^2.
Exemplo não conservativo: G(x,y)=(-y,x), pois curl,G=2neq0.

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