O que é um campo conservativo? Dê um exemplo de um campo conservativo e outro que não é.
Passo 1
O enunciado pede para explicar o que é um campo conservativo e dar um exemplo de um campo que seja conservativo e outro que não seja. Vamos trabalhar no plano
(ou em
) usando conceitos de potencial escalar e de rotação (curl).
Passo 2
Um campo vetorial
é dito conservativo se existe uma função escalar
(chamada potencial) tal que
Isto significa que o trabalho de
ao longo de qualquer curva de ponto
até ponto
depende apenas de
, não do caminho seguido. Em domínios simplesmente conexos em
ou
, uma condição equivalente é
Passo 3
Exemplo de campo conservativo:
Considere
Considere
Aqui podemos definir o potencial
pois
Logo
é conservativo.
Passo 4
Exemplo de campo não conservativo:
Considere
Considere
Calculamos a rotação em
(que aqui é um escalar)
Como
, não existe potencial
com
. Logo
não é conservativo.
Resposta
Um campo conservativo é aquele que pode ser escrito como o gradiente de uma função potencial
, o que garante independência de caminho e
em domínios apropriados.
Exemplo conservativo: , com potencial
.
Exemplo não conservativo: , pois
.
Exemplo conservativo:
Exemplo não conservativo: