Como a derivada pode ser útil em campos vetoriais? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta como a derivada é útil em campos vetoriais. O conteúdo principal aqui é a definição de derivada de um campo vetorial em relação ao vetor posição, isto é, a matriz Jacobiana, e como ela permite aproximar localmente o campo por um sistema linear. Para resolver vamos precisar da definição de derivada parcial e da noção de linearização de um campo vetorial.

Passo 2

Seja F:R^ntoR^n um campo vetorial suficientemente suave. A derivada de F num ponto x0 é a matriz Jacobiana
DF(x0) = partial F1partial x1(x0)&cdots&partial F1partial xn(x0) vdots&ddots&vdots partial Fnpartial x1(x0)&cdots&partial Fnpartial xn(x0) ,
que agrupa todas as derivadas parciais de cada componente de F.

Passo 3

Esse Jacobiano permite a aproximação linear do campo perto de x0. Se h é um pequeno deslocamento, então
F(x0+h) approx F(x0) + DF(x0),h
Ou seja, localmente F comporta-se como a aplicação linear DF(x0).

Passo 4

Exemplo prático: considere o sistema dinâmico
dot x = 2x, dot y = -y,
que podemos escrever como dotx=F(x) com x=(x,y) e
F(x,y)=(2x,,-y)
O ponto de equilíbrio é xe=(0,0) pois F(0,0)=(0,0). Calculamos a Jacobiana em xe:
DF(x,y) = 2 & 0 0 & -1 implies DF(0,0) = 2 & 0 0 & -1

Passo 5

Os autovalores de DF(0,0) são lambda1=2 e lambda2=-1. Como existe um autovalor positivo e um negativo, o equilíbrio (0,0) é uma sela: uma direção é instável (cresce como e^2t) e outra é estável (decai como e^-t). Sem a Jacobiana seria difícil classificar qualitativamente esse comportamento apenas olhando para F.

Resposta

A derivada de um campo vetorial, via matriz Jacobiana, serve para aproximar o campo por um sistema linear e, por exemplo, na análise de sistemas dinâmicos permite classificar a estabilidade de pontos de equilíbrio.

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