Como a derivada pode ser útil em campos escalares? Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta como a derivada pode ser útil em campos escalares. Aqui o conteúdo é derivada direcional e gradiente de uma função f:R^ntoR. Para resolver, vamos revisar o conceito de derivada direcional, depois introduzir o gradiente e, por fim, dar um exemplo prático em física (campo de temperatura).

Passo 2

A derivada direcional de um campo escalar f(x,y) na direção de um vetor unitário u=(ux,uy) é definida como
Duf(x,y)=limhto0fl(x+hux,;y+huyr)-f(x,y)h
Ela mede a taxa de variação de f quando nos movemos infinitesimalmente na direção u.

Passo 3

O gradiente de f é o vetor que reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada:
nabla f(x,y)=l(partial fpartial x,;partial fpartial yr)
Além disso vale a relação
Duf(x,y)=nabla f(x,y)cdotu,
ou seja, o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e seu módulo dá a taxa máxima de variação.

Passo 4

Considere o campo escalar de temperatura numa placa
T(x,y)=100 - x^2 - y^2
Então
nabla T(x,y)=l(-2x,,-2yr)
No ponto (1,2) temos
nabla T(1,2)=(-2,,-4)
Isso significa que, a partir de (1,2), a temperatura cresce mais rápido na direção do vetor (-2,-4), e a taxa máxima de variação é |nabla T(1,2)|=raiz(-2)^2+(-4)^2=2raiz5.

Resposta

A derivada, por meio do gradiente, permite encontrar direção e intensidade da maior variação de um campo escalar.
Exemplo: para
T(x,y)=100 - x^2 - y^2
temos
nabla T(x,y)=(-2x,,-2y),
de modo que em (1,2) o gradiente vale (-2,-4), indicando exatamente para onde e com que rapidez a temperatura aumenta mais.

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