Como a derivada pode ser útil em campos escalares? Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta como a derivada pode ser útil em campos escalares. Aqui o conteúdo é derivada direcional e gradiente de uma função
. Para resolver, vamos revisar o conceito de derivada direcional, depois introduzir o gradiente e, por fim, dar um exemplo prático em física (campo de temperatura).
Passo 2
A derivada direcional de um campo escalar
na direção de um vetor unitário
é definida como
Ela mede a taxa de variação de
quando nos movemos infinitesimalmente na direção
.
Passo 3
O gradiente de
é o vetor que reúne as derivadas parciais em cada direção coordenada:
Além disso vale a relação
ou seja, o gradiente aponta na direção de maior crescimento de
e seu módulo dá a taxa máxima de variação.
Passo 4
Considere o campo escalar de temperatura numa placa
Então
No ponto
temos
Isso significa que, a partir de
, a temperatura cresce mais rápido na direção do vetor
, e a taxa máxima de variação é
.
Resposta
A derivada, por meio do gradiente, permite encontrar direção e intensidade da maior variação de um campo escalar.
Exemplo: para
Exemplo: para
temos
de modo que em
o gradiente vale
, indicando exatamente para onde e com que rapidez a temperatura aumenta mais.