Um campo é dado por
. Encontre:
(a) um vetor unitário na direção de
em
;
(a) um vetor unitário na direção de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial
e pede para encontrarmos um vetor unitário na direção desse campo no ponto
. Vamos precisar dos conceitos de vetores, normalização de vetores (para achar o vetor unitário) e avaliação de funções vetoriais em pontos específicos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor com comprimento igual a 1 que aponta na mesma direção que o vetor original. Para encontrá-lo, a gente pega o vetor original e divide cada uma das suas componentes pelo seu comprimento (ou norma).
Passo 3
Vamos calcular o vetor
no ponto
. A fórmula do campo vetorial é:
Substituindo
e
:
Passo 4
Calculando o denominador:
Então:
Passo 5
Agora temos o vetor
no ponto
:
Para encontrar o vetor unitário na direção de
, precisamos calcular a norma (comprimento) de
.
Passo 6
A norma de um vetor
é dada por:
No nosso caso:
Passo 7
Agora que temos a norma de
, podemos encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de
pela sua norma:
Resposta
O vetor unitário na direção de
em
é: