Um campo é dado por mathbfG. Encontre:
(a) um vetor unitário na direção de P(3,4,-2) em ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos dá um campo vetorial G e pede para encontrarmos um vetor unitário na direção desse campo no ponto P(3, 4, -2). Vamos precisar dos conceitos de vetores, normalização de vetores (para achar o vetor unitário) e avaliação de funções vetoriais em pontos específicos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor unitário. Um vetor unitário é um vetor com comprimento igual a 1 que aponta na mesma direção que o vetor original. Para encontrá-lo, a gente pega o vetor original e divide cada uma das suas componentes pelo seu comprimento (ou norma).

Passo 3

Vamos calcular o vetor G no ponto P(3, 4, -2). A fórmula do campo vetorial é:
G = [25x^2 + y^2] (x ax + y ay)
Substituindo x = 3 e y = 4:
G = [253^2 + 4^2] (3 ax + 4 ay)

Passo 4

Calculando o denominador:
3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
Então:
G = [2525] (3 ax + 4 ay) = 1 cdot (3 ax + 4 ay) = 3 ax + 4 ay

Passo 5

Agora temos o vetor G no ponto P(3, 4, -2):
G = 3 ax + 4 ay
Para encontrar o vetor unitário na direção de G, precisamos calcular a norma (comprimento) de G.

Passo 6

A norma de um vetor V = vx ax + vy ay + vz az é dada por:
|V| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
No nosso caso:
|G| = raiz3^2 + 4^2 + 0^2 = raiz9 + 16 + 0 = raiz25 = 5

Passo 7

Agora que temos a norma de G, podemos encontrar o vetor unitário dividindo cada componente de G pela sua norma:
u = G|G| = 3 ax + 4 ay5 = (35) ax + (45) ay

Resposta

O vetor unitário na direção de G em P(3, 4, -2) é:
u = (35) ax + (45) ay

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