Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular
e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo elétrico possui amplitude
e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Mostre que o vetor campo elétrico é solução da equação da onda.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma onda eletromagnética no vácuo com frequência angular
e número de onda
. O campo elétrico é
A matéria é “equação da onda em eletromagnetismo” e o que precisamos é mostrar que esse
satisfaz
onde
é a velocidade da luz no vácuo. Para isso, vamos calcular a Laplaciana espacial e a segunda derivada no tempo do componente não nulo e comparar.
Passo 2
A equação da onda para o campo elétrico no vácuo é, componente a componente:
com
. Aqui só temos
, então vamos focar em
Passo 3
Primeiro, a Laplaciana em 1D (porque só depende de
) é
Vamos derivar duas vezes em relação a
:
-
. -
Logo
Passo 4
Agora, a segunda derivada em relação ao tempo:
-
. -
Então
Passo 5
Compare com a equação da onda:
Substituindo o que achamos:
Podemos cancelar o fator
, sobrando
Passo 6
Mas em ondas eletromagnéticas no vácuo a relação de dispersão dita que
ou seja,
. Logo a igualdade acima se verifica e a onda satisfaz mesmo a equação da onda.
Resposta
O campo elétrico
satisfaz
pois, ao calcular as derivadas, chega-se a
e usar .
e usar