Uma onda eletromagnética polarizada de frequência angular omega e número de onda k se propaga no vácuo, ou seja, sem carga ou corrente elétrica. O vetor campo elétrico possui amplitude Em e, em determinado instante, possui os seguintes componentes:
Ex=0 ; Ey=Em sen(k x-omega t) ; Ez=0
Mostre que o vetor campo elétrico é solução da equação da onda.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma onda eletromagnética no vácuo com frequência angular vec E(x,t) = (0,;Emsin(kx - omega t),;0) e número de onda nabla^2vec E ;=;1c^2,partial^2 vec Epartial t^2, . O campo elétrico é
A matéria é “equação da onda em eletromagnetismo” e o que precisamos é mostrar que esse satisfaz
onde é a velocidade da luz no vácuo. Para isso, vamos calcular a Laplaciana espacial e a segunda derivada no tempo do componente não nulo e comparar.

Passo 2

A equação da onda para o campo elétrico no vácuo é, componente a componente:
nabla^2 Ei(x,t) ;=;1c^2,partial^2 Ei(x,t)partial t^2,
com Ey(x,t) = Emsin(kx - omega t) . Aqui só temos , então vamos focar em

Passo 3

Primeiro, a Laplaciana em 1D (porque só depende de nabla^2Ey = partial^2Eypartial x^2 ) é
nabla^2Ey = -k^2,Emsin(kx - omega t)
Vamos derivar duas vezes em relação a :
  1. .

  2. Logo

Passo 4

Agora, a segunda derivada em relação ao tempo:
partial^2 Eypartial t^2
  1. partial^2 Eypartial t^2 = -omega^2,Emsin(kx - omega t) .

  2. Então

Passo 5

Compare com a equação da onda:
nabla^2Ey = 1c^2,partial^2Eypartial t^2
Substituindo o que achamos:
-k^2,Emsin(kx - omega t) stackrel?= 1c^2l[-omega^2,Emsin(kx - omega t)r]
Podemos cancelar o fator k^2 = omega^2c^2 , sobrando

Passo 6

Mas em ondas eletromagnéticas no vácuo a relação de dispersão dita que
omega = c,k,
ou seja, . Logo a igualdade acima se verifica e a onda satisfaz mesmo a equação da onda.

Resposta

O campo elétrico satisfaz
pois, ao calcular as derivadas, chega-se a

e usar .

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