Qual o campo elétrico resultante ao longo da linha de menor distância entre uma carga positiva
pontual e um linha infinita de carga negativa homogênea
, separadas por uma distância
.
Passo 1
Beleza, então o que temos? Uma carga pontual positiva
e, a uma distância mínima
dela, uma linha infinita de carga com densidade
(negativa). A gente quer o campo elétrico resultante num ponto qualquer dessa “perpendicular” que liga a carga à linha – ou seja, ao longo da linha de menor distância entre elas.
Matéria envolvida: eletrostática, mais especificamente superposição de campo elétrico.
Vamos precisar de:
Matéria envolvida: eletrostática, mais especificamente superposição de campo elétrico.
Vamos precisar de:
- Campo elétrico de uma linha infinita (Lei de Gauss).
- Campo elétrico de uma carga pontual (Lei de Coulomb).
- Soma vetorial (aqui fica tudo ao longo da mesma reta, então é soma algébrica).
Passo 2
Primeiro, colocar coordenadas. Define o eixo
perpendicular à linha, com
no ponto da linha mais próximo da carga. Então:
- A linha infinita fica em
. - A carga
está em . - Um ponto genérico
onde queremos o campo está em , com .
Neste eixo, a direção positiva de
vai da linha em direção à carga.
Passo 3
Campo devido à linha infinita em
(distância
da linha):
Usando Gauss, a magnitude é
Usando Gauss, a magnitude é
Como
é negativa, o campo aponta para a linha (isto é, sentido
). Podemos então escrever vetorialmente
pois
já traz o sinal certo.
Passo 4
Campo devido à carga pontual
em
:
Distância entre (em
) e
(em
) é
. Pelo enunciado
, então
.
Pela Lei de Coulomb, a magnitude é
Distância entre
Pela Lei de Coulomb, a magnitude é
E a direção do campo criado por
é “afastando-se” de
, ou seja, do ponto
para
em
, o que é sentido
. Assim
Passo 5
Agora é só somar os dois vetores (que estão ao longo de
):
Resposta
Esse é o campo ao longo da linha de menor distância, com
saindo da linha em direção à carga.