Qual o campo elétrico resultante ao longo da linha de menor distância entre uma carga positiva Q pontual e um linha infinita de carga negativa homogênea (lambda), separadas por uma distância R.

Passo 1

Beleza, então o que temos? Uma carga pontual positiva e, a uma distância mínima dela, uma linha infinita de carga com densidade (negativa). A gente quer o campo elétrico resultante num ponto qualquer dessa “perpendicular” que liga a carga à linha – ou seja, ao longo da linha de menor distância entre elas.
Matéria envolvida: eletrostática, mais especificamente superposição de campo elétrico.
Vamos precisar de:
  1. Campo elétrico de uma linha infinita (Lei de Gauss).
  2. Campo elétrico de uma carga pontual (Lei de Coulomb).
  3. Soma vetorial (aqui fica tudo ao longo da mesma reta, então é soma algébrica).

Passo 2

Primeiro, colocar coordenadas. Define o eixo perpendicular à linha, com no ponto da linha mais próximo da carga. Então:
  • A linha infinita fica em .
  • A carga está em .
  • Um ponto genérico onde queremos o campo está em , com .
Neste eixo, a direção positiva de vai da linha em direção à carga.

Passo 3

Campo devido à linha infinita em Erm linha = |lambda|2pivarepsilon0,s, (distância vec Erm linha(s) = lambda2pivarepsilon0,s,hat x da linha):
Usando Gauss, a magnitude é
Como é negativa, o campo aponta para a linha (isto é, sentido ). Podemos então escrever vetorialmente
pois já traz o sinal certo.

Passo 4

Campo devido à carga pontual Erm ponto = 14pivarepsilon0,Q(R-s)^2, em vec Erm ponto(s) = -,14pivarepsilon0,Q(R-s)^2;hat x, :
Distância entre (em ) e (em ) é . Pelo enunciado , então .
Pela Lei de Coulomb, a magnitude é
E a direção do campo criado por é “afastando-se” de , ou seja, do ponto para em , o que é sentido . Assim

Passo 5

Agora é só somar os dois vetores (que estão ao longo de vec Erm total(s) = vec Erm linha(s) + vec Erm ponto(s) = (lambda2pivarepsilon0,s ;-;Q4pivarepsilon0,(R-s)^2)hat x ):

Resposta

boxed vec E(s) = gl(lambda2pivarepsilon0,s -Q4pivarepsilon0,(R-s)^2gr)hat x, 0
Esse é o campo ao longo da linha de menor distância, com saindo da linha em direção à carga.

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