Um campo é dado por y=7. Encontre:
© o valor da seguinte integral dupla no plano integral0^4 integral0^2 G cdot ay d z d x :

Passo 1

Beleza, a gente tem um campo vetorial
G=25x^2+y^2,(x,ax+y,ay)
e quer a integral dupla em y=7 de
integral0^4!!integral0^2Gcdotay,dz,dx
Conteúdo: cálculo de integrais duplas, produto escalar de vetores e uso da fórmula

Vamos precisar projetar o campo em , fixar e integrar direitinho em e depois em .

Passo 2

Primeiro, a projeção em Gcdotay =25x^2+y^2,(x,ax+y,ay)cdotay =25x^2+y^2;y :
Gcdotay =25cdot 7x^2+7^2 =175x^2+49
Como estamos no plano , basta substituir :

Passo 3

A integral sobre integral0^2175x^2+49,dz =175x^2+49,l[zr]0^2 =2;175x^2+49 =350x^2+49 de a é simples porque o integrando não depende de :

Passo 4

Agora integramos em integral0^4350x^2+49,dx =350integral0^4dxx^2+7^2 de 0 a 4:
350cdot17l[arctan!l(tfracx7r)r]0^4 =50l(arctan!tfrac47-arctan 0r) =50arctan!tfrac47
Usando
,
aqui , então

Resposta

boxed50,arctan!l(tfrac47r)

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