O campo elétrico associado com uma onda eletromagnética é dado por E= E0 sin (k x-omega t). Calcule o campo magnético B. Considere que a onda eletromagnética se desloca na direção +x.

Passo 1

O enunciado dá o campo elétrico de uma onda plana em propagação ao longo de +x:
vec E = E0sin(kx-omega t)
e pede o campo magnético vec B. O conteúdo é a relação entre vec E e vec B em ondas eletromagnéticas no vácuo, que obedecem às equações de Maxwell.

Passo 2

Precisamos fixar a polarização para definir direções vetoriais. Suponha que
vec E = E0,hat y,sin(kx-omega t)
O vetor de Poynting é vec Spropto vec Etimesvec B e aponta em +hat x. Como hat ytimeshat z=hat x, segue que
vec B;deve estar ao longo de hat z,
isto é,
vec B = B0,hat z,sin(kx-omega t)

Passo 3

Use a lei de Faraday
nablatimesvec E = -partial vec Bpartial t
Para vec E=E0hat ysinphi com phi=kx-omega t, o rotacional só tem componente z:
(nablatimesvec E)z =partial Expartial y-partial Eypartial x =-partial partial xl(E0sinphir) =-E0kcosphi
Então
nablatimesvec E=-E0kcosphi,hat z Longrightarrow -partial Bzpartial t=-E0kcosphi ;;Rightarrow;; partial Bzpartial t=E0kcosphi

Passo 4

Integre em t:
partial Bzpartial t =E0kcos(kx-omega t) Longrightarrow Bz =E0komegasin(kx-omega t)+f(x)
Como queremos uma onda viajante pura, tomamos f(x)=0. Em seguida usamos omega/k=c (velocidade da luz no vácuo) e obtemos
Bz = E0c,sin(kx-omega t)

Passo 5

Reescrevendo em forma vetorial, fica
vec B = E0c,hat z,sin(kx-omega t)

Resposta

vec B = E0c,hat zsin(kx-omega t)

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