é também base de R^3 se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3 são todos não nulos.
O que precisamos usar: definição de base (linearmente independente e gera todo o espaço) e operações com combinações lineares.
Passo 2
Suponha alpha1,alpha2,alpha3neq0. Primeiro mostramos que a família é linearmente independente.
Considere a combinação linear nula:
Como l(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3r) é base, só existe a solução alpha1,x=alpha2,y=alpha3,z=0. Mas cada alphaineq0, logo x=y=z=0. Portanto a família é linearmente independente.
Passo 3
Ainda com alpha1,alpha2,alpha3neq0, mostramos que a família gera R^3. Dado overrightarrow vin R^3, como overrightarrow ei é base, existem u1,u2,u3 tais que
mostrando que todo overrightarrow v está no span da nova família. Assim ela gera R^3.
Passo 4
Agora, se algum alphai=0, digamos alpha1=0, então o primeiro vetor alpha1overrightarrow e1 é o vetor nulo. Qualquer família que contenha o vetor overrightarrow0 é linearmente dependente e não gera todo o espaço (faltam dimensões). Logo não é base.
Passo 5
Interpretação geométrica: passar de (overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) para (alpha1overrightarrow e1,alpha2overrightarrow e2,alpha3overrightarrow e3) equivale a esticar (ou comprimir, se |alphai|<1) cada eixo coordenado independentemente. Contanto que não “achatem” o eixo (isto é, alphaineq0), a rede de reticulado ainda ocupa todo o espaço tridimensional, formando outro paralelogramo fundamental não degenerado. Se algum alphai=0, esse eixo colapsa e a rede vira um plano.
Resposta
A família l(alpha1overrightarrow e1,alpha2overrightarrow e2,alpha3overrightarrow e3r) é base de R^3 se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3neq0.