Se (e1, e2, e3) é base, prove que (alpha1 e1, alpha2 e2, alpha3 e3) é base se, e somente se, alpha1, alpha2 e alpha3 não são nulos. Interprete geometricamente.

Passo 1

O enunciado diz que l(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3r) é uma base de R^3 e pede para provar que a família
l(alpha1overrightarrow e1,;alpha2overrightarrow e2,;alpha3overrightarrow e3r)
é também base de R^3 se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3 são todos não nulos.
O que precisamos usar: definição de base (linearmente independente e gera todo o espaço) e operações com combinações lineares.

Passo 2

Suponha alpha1,alpha2,alpha3neq0. Primeiro mostramos que a família é linearmente independente.
Considere a combinação linear nula:
xl(alpha1overrightarrow e1r)+yl(alpha2overrightarrow e2r)+zl(alpha3overrightarrow e3r)=overrightarrow0
Isso equivale a
alpha1,x,overrightarrow e1+alpha2,y,overrightarrow e2+alpha3,z,overrightarrow e3=overrightarrow0
Como l(overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3r) é base, só existe a solução alpha1,x=alpha2,y=alpha3,z=0. Mas cada alphaineq0, logo x=y=z=0. Portanto a família é linearmente independente.

Passo 3

Ainda com alpha1,alpha2,alpha3neq0, mostramos que a família gera R^3. Dado overrightarrow vin R^3, como overrightarrow ei é base, existem u1,u2,u3 tais que
overrightarrow v=u1overrightarrow e1+u2overrightarrow e2+u3overrightarrow e3
Basta escrever cada overrightarrow ei=tfrac1alphail(alphaioverrightarrow eir) para obter
overrightarrow v=u1alpha1l(alpha1overrightarrow e1r) +u2alpha2l(alpha2overrightarrow e2r) +u3alpha3l(alpha3overrightarrow e3r),
mostrando que todo overrightarrow v está no span da nova família. Assim ela gera R^3.

Passo 4

Agora, se algum alphai=0, digamos alpha1=0, então o primeiro vetor alpha1overrightarrow e1 é o vetor nulo. Qualquer família que contenha o vetor overrightarrow0 é linearmente dependente e não gera todo o espaço (faltam dimensões). Logo não é base.

Passo 5

Interpretação geométrica: passar de (overrightarrow e1,overrightarrow e2,overrightarrow e3) para (alpha1overrightarrow e1,alpha2overrightarrow e2,alpha3overrightarrow e3) equivale a esticar (ou comprimir, se |alphai|<1) cada eixo coordenado independentemente. Contanto que não “achatem” o eixo (isto é, alphaineq0), a rede de reticulado ainda ocupa todo o espaço tridimensional, formando outro paralelogramo fundamental não degenerado. Se algum alphai=0, esse eixo colapsa e a rede vira um plano.

Resposta

A família l(alpha1overrightarrow e1,alpha2overrightarrow e2,alpha3overrightarrow e3r) é base de R^3 se, e somente se, alpha1,alpha2,alpha3neq0.

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