O campo elétrico é conservativo? O conceito de potencial elétrico é sempre válido? Justifique as respostas.
Passo 1
O enunciado pergunta se o campo elétrico é um campo conservativo e se o conceito de potencial elétrico vale sempre. O assunto está dentro de eletromagnetismo e envolve os teoremas de campos vetoriais (conservatividade, rotações) e as equações de Maxwell, em especial a lei de Faraday.
Passo 2
Um campo vetorial
é conservativo se a circulação ao longo de qualquer curva fechada for nula, isto é,
e, em regiões simplesmente conexas, equivale a
Passo 3
Em eletrostática (campo elétrico produzido apenas por cargas estacionárias, sem variações temporais de campo magnético), a lei de Maxwell–Faraday reduz-se a
Isso implica que
e, portanto,
é conservativo nessa situação.
Passo 4
Quando há campos magnéticos variando no tempo, a lei completa de Faraday diz
sempre que
. Nesse caso a circulação de
em torno de um circuito fechado é
logo
deixa de ser conservativo.
Passo 5
Um campo conservativo admite um potencial escalar
tal que
Como vimos, isso só é possível se
. Portanto o conceito de potencial elétrico escalar vale apenas para eletrostática (ou quando não há variação de
no tempo). No regime dinâmico, define-se também o potencial vetor
e o escalar
juntos, mas não existe um único potencial escalar que gere todo
.
Resposta
O campo elétrico é conservativo apenas em eletrostática, quando
. O conceito de potencial elétrico escalar só é válido nesse caso; para campos variáveis no tempo não se pode definir um único
tal que
.