O campo elétrico é conservativo? O conceito de potencial elétrico é sempre válido? Justifique as respostas.

Passo 1

O enunciado pergunta se o campo elétrico é um campo conservativo e se o conceito de potencial elétrico vale sempre. O assunto está dentro de eletromagnetismo e envolve os teoremas de campos vetoriais (conservatividade, rotações) e as equações de Maxwell, em especial a lei de Faraday.

Passo 2

Um campo vetorial F é conservativo se a circulação ao longo de qualquer curva fechada for nula, isto é,
oint Fcdot dell = 0
e, em regiões simplesmente conexas, equivale a
nablatimes F = 0

Passo 3

Em eletrostática (campo elétrico produzido apenas por cargas estacionárias, sem variações temporais de campo magnético), a lei de Maxwell–Faraday reduz-se a
nablatimes E = 0
Isso implica que oint Ecdot dell=0 e, portanto, E é conservativo nessa situação.

Passo 4

Quando há campos magnéticos variando no tempo, a lei completa de Faraday diz
nablatimes E = -partial Bpartial tneq 0
sempre que partial B/partial tneq 0. Nesse caso a circulação de E em torno de um circuito fechado é
oint Ecdot dell = -ddt!integral! Bcdot dSneq 0,
logo E deixa de ser conservativo.

Passo 5

Um campo conservativo admite um potencial escalar phi tal que
E = -nablaphi
Como vimos, isso só é possível se nablatimesE=0. Portanto o conceito de potencial elétrico escalar vale apenas para eletrostática (ou quando não há variação de B no tempo). No regime dinâmico, define-se também o potencial vetor A e o escalar phi juntos, mas não existe um único potencial escalar que gere todo E.

Resposta

O campo elétrico é conservativo apenas em eletrostática, quando partialB/partial t=0. O conceito de potencial elétrico escalar só é válido nesse caso; para campos variáveis no tempo não se pode definir um único phi tal que E=-nablaphi.

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