Um campo elétrico é dado por E=(50 / rho) arho-4 az. Determinar: (a) o vetor unitário aE em coordenadas cartesianas no ponto P(10,20^circ, 2); (b) a equação do lugar geométrico dos pontos para os quais |E|=10.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a gente tem um campo elétrico em coordenadas cilíndricas
overrightarrow E(rho,phi,z);=;50rho,hat arho ;-;4,hat az
e pede dois itens:
a) o vetor unitário na direção de no ponto , mas expresso em coordenadas cartesianas;
b) o lugar geométrico dos pontos onde .
Conteúdo envolvido:
  • conversão entre bases cilíndrica ( ) e cartesiana ( );
  • definição de módulo de vetor e vetor unitário;
  • resolver equação para achar o lugar geométrico.
Vai ser no esquema “passo a passo”, sem pular nada.

Passo 2

Primeiro a gente avalia o campo no ponto Erho = 50rho = 5010 = 5, .
  • Em overrightarrow E(P) = 5,hat arho ;-;4,hat az , , , .
  • Então a componente radial vale e a componente continua .
    Logo

Passo 3

Agora o módulo desse vetor, usando a fórmula
llvert overrightarrow E(P)rrvert = raiz5^2 + (-4)^2 = raiz25 + 16 = raiz41 .
Aqui só tem e , mas é a mesma ideia:

Passo 4

O vetor unitário na direção de hat aE = overrightarrow E(P)lvert overrightarrow E(P)rvert = 5,hat arho - 4,hat azraiz41 = 5raiz41,hat arho ;-;4raiz41,hat az é

Passo 5

Falta passar pra cartesiano. A relação é
hat aE = 5raiz41l(cos20^circ,hat ax + sin20^circ,hat ayr) ;-;4raiz41,hat az .
Com :

Passo 6

Parte (b): lugar geométrico de lvert overrightarrow Ervert = raizl(50rhor)^2 + (-4)^2 =10 .
Em geral
2500rho^2 + 16 = 100 Longrightarrow 2500rho^2 = 84 Longrightarrow rho^2 = 250084 = 62521
Elevando ao quadrado:
x^2 + y^2 = 62521,
Em cartesianas, . Então o lugar é
que é um cilindro de raio .

Resposta

a)
b) O lugar geométrico é

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