Dados os pontos P(4,7,3) e Q(-3,6,-5), determine: (a) as coordenadas cilíndricas do ponto P ; (b) as coordenadas esféricas do ponto P ; © o vetor RPQ, em coordenadas cilíndricas, no ponto P.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede o seguinte sobre o ponto P(4,7,3) e Q(-3,6,-5):
a) achar as coordenadas cilíndricas de P;
b) achar as coordenadas esféricas de P;
c) escrever o vetor em coordenadas cilíndricas avaliadas no ponto P.
O conteúdo é: transformação de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas, e decompor um vetor em base cilíndrica. Vamos usar a definição de cada sistema e as fórmulas de projeção do vetor na base .

Passo 2

Transformação para coordenadas cilíndricas
Teoria: em cilíndricas, um ponto r = raizx^2 + y^2, theta = atan2(y,x), z = z vira r = raiz4^2 + 7^2 = raiz16+49 = raiz65, com
theta = arctan!l(74r)(fica no 1º quadrante),
No nosso caso z = 3 , então
º

Passo 3

Transformação para coordenadas esféricas
Teoria: em esféricas, um ponto rho = raizx^2 + y^2 + z^2, theta = atan2(y,x), phi = arccos!l(zrhor) vira rho = raiz4^2+7^2+3^2 = raiz16+49+9 = raiz74, com
phi = arccos!l(3raiz74r)
Já sabemos . Calculamos

Passo 4

Vetor RPQ = Q - P = (-3-4,;6-7,;-5-3) = (-7,,-1,,-8) em cilindricas
  1. Primeiro o vetor em cartesianas:
vr = vxcostheta + vysintheta = (-7)4raiz65 + (-1)7raiz65 = -28 - 7raiz65 = -35raiz65,
  1. A base cilíndrica em P é dada por
    vtheta = -vxsintheta + vycostheta = -(-7)7raiz65 + (-1)4raiz65 = 49 - 4raiz65 = 45raiz65, ,
    vz = -8 ,
    , onde
    .
  2. Agora projetamos nessa base:

Resposta

a) Coordenadas cilíndricas de P:
l(vr,vtheta,vzr) = l(-tfrac35raiz65,;tfrac45raiz65,;-8r)
b) Coordenadas esféricas de P:

c) Vetor em cilíndricas (em P):

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