A energia de um oscilador harmônico linear é E=px^2 / 2 m+C x^2 / 2. Mostre então que a energia mínima do oscilador 6 h nu / 2, onde
nu=12 pi raizCm
ê a freqủẻncia de oscilações. (Sugestão: este resultado depende do produto De ter seu valor mínimo h / 2. Ache E em termos de De ou De como na parte (a), e então minimize
E em relação a De ou De na parte (b). Observe que classicamente a energia mímina seria zero.)

Passo 1

Beleza, vamos à ideia geral. O enunciado diz que a energia de um oscilador harmônico é
E ;=; px^22m ;+;C,x^22,
Queremos mostrar que, por causa do princípio da incerteza Emin ;=;hnu2,, , a menor energia possível (energia de ponto zero) vale
onde
.
Conteúdo envolvido:
  • Princípio da incerteza de Heisenberg ( ).
  • Minimização de funções (derivada igual a zero).
  • Relação entre e .

Passo 2

Primeiro a gente troca as variáveis exatas E(De por suas incertezas típicas De. Assim a energia vira
E(De
Pelo princípio da incerteza, assumimos o caso “mínimo” , ou seja
Substituindo em só em função de :

Passo 3

Agora vamos achar o mínimo de dEd(De derivando em relação a C,De e igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por ,

Passo 4

A gente substitui hbar^28m,De de volta na expressão de Emin =2timeshbarraizC/m4 =hbar2,raizCm ;=;hbaromega2, . Mas, para simplificar, note que a soma dos dois termos em Emin =h2pi,omega2 =h,nu2, dá o mesmo valor neste ponto máximo de “economia” de energia. Ou seja, cada parcela vale
e o termo também dá . Somando:
onde definimos . Como e ,

Resposta

A energia mínima do oscilador harmônico linear é
boxedEmin=h,nu2,, nu=12piraizCm,

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