A energia de um oscilador harmônico linear é
. Mostre então que a energia mínima do oscilador
, onde
ê a freqủẻncia de oscilações. (Sugestão: este resultado depende do produto
ter seu valor mínimo
. Ache
em termos de
ou
como na parte (a), e então minimize
em relação a
ou
na parte (b). Observe que classicamente a energia mímina seria zero.)
Passo 1
Beleza, vamos à ideia geral. O enunciado diz que a energia de um oscilador harmônico é
Queremos mostrar que, por causa do princípio da incerteza
, a menor energia possível (energia de ponto zero) vale
onde
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Princípio da incerteza de Heisenberg (
). - Minimização de funções (derivada igual a zero).
- Relação entre
e .
Passo 2
Primeiro a gente troca as variáveis exatas
por suas incertezas típicas
. Assim a energia vira
Pelo princípio da incerteza, assumimos o caso “mínimo”
, ou seja
Substituindo em
só em função de
:
Passo 3
Agora vamos achar o mínimo de
derivando em relação a
e igualando a zero:
Multiplicando ambos os lados por
,
Passo 4
A gente substitui
de volta na expressão de
. Mas, para simplificar, note que a soma dos dois termos em
dá o mesmo valor neste ponto máximo de “economia” de energia. Ou seja, cada parcela vale
e o termo
também dá
. Somando:
onde definimos
. Como
e
,
Resposta
A energia mínima do oscilador harmônico linear é